Introduction
Il arrive qu’une variable aléatoire puisse prendre n’importe quelle valeur sur \mathbb{R} ou sur un intervalle I de \mathbb{R}. Dans ce cas, X\left(\Omega \right)=I.
Pour une telle variable, les événements intéressants ne sont plus X=5 , X=20 , etc… , mais X \leqslant 5 , 5 \leqslant X \leqslant 20 etc…
1. Généralités
Définition
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I=\left[a;b\right] telle que
\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=1.
On dit que X est une variable aléatoire réelle continue de densité f si et seulement si pour tout x_{1} \in I et tout x_{2} \in I (x_{1}\leqslant x_{2}) :
p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right)=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f\left(x\right)dx
Exemple
La fonction f définie sur I=\left[0;2\right] par f\left(x\right)=\frac{x}{2} est une fonction continue et positive sur I et :
\int_{0}^{2}f\left(x\right)dx=\left[\frac{x^{2}}{4}\right]_{0}^{2}=1
Si X est la variable aléatoire réelle à valeur dans I de densité f on a, par exemple :
P\left(1\leqslant X\leqslant 1,5\right)=\int_{1}^{1,5}f\left(x\right)dx
donc P\left(1\leqslant X\leqslant 1,5\right) est l’aire (en u.a.) colorée ci-dessous.
Un calcul simple montre que P\left(1\leqslant X\leqslant 1,5\right)=\left[\frac{x^{2}}{4}\right]_{1}^{1,5}=0,3125
Remarques
- On peut étendre cette définition aux cas où l’une ou les deux bornes a et b sont infinies.
Dans ce cas, on remplace la condition \int_{a}^{ b}f\left(x\right)dx=1 par une condition portant sur une limite; par exemple si b vaut +\infty , la condition \int_{a}^{ b}f\left(x\right)dx=1 deviendra \lim\limits_{y\rightarrow +\infty }\int_{a}^{ y}f\left(x\right)dx=1 - Comme indiqué en introduction, les événements du type \left(X=k\right) ne sont pas intéressant car pour tout k appartenant à I, p\left(X=k\right)=\int_{k}^{ k}f\left(x\right)dx=0
- On peut employer indifféremment des inégalités larges ou strictes : p\left(x_{1} < X < x_{2}\right)=p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right)
Définition
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X qui suit une loi de densité f sur \left[a;b\right] est le réel noté E\left(X\right) défini par :
E\left(X\right)=\int_{a}^{b}xf\left(x\right)dx
Exemple
Si l’on reprend l’exemple précédent ( f définie sur I=\left[0;2\right] par f\left(x\right)=\frac{x}{2} ), l’espérance mathématique est :
E\left(x\right)=\int_{0}^{2}xf\left(x\right)dx=\int_{0}^{2}\frac{x^{2}}{2}dx=\left[\frac{x^{3}}{6}\right]_{0}^{2}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}
2. Loi uniforme sur [a; b]
Définition
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur \left[a;b\right] si sa densité de probabilité f est définie sur \left[a;b\right] par f\left(x\right)=\frac{1}{b-a}
Densité de la loi uniforme sur l’intervalle \left[0, 2\right]
Remarque
On vérifie facilement que \int_{a}^{b} \frac{1}{b-a} dx=\left[\frac{x}{b-a}\right]_{a}^{b}=1
Propriété
Si X suit une loi uniforme sur \left[a;b\right], alors pour tous réels x_{1} et x_{2} compris entre a et b :
p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right)\equiv\frac{x_{2}-x_{1}}{b-a}
Démonstration
En effet, si a\leqslant x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant b alors :
p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right)=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{1}{b-a}dx=\frac{x_{2}-x_{1}}{b-a}
Théorème
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme sur \left[a;b\right] est :
E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}
Démonstration
E\left(X\right) =\int_{a}^{ b}\frac{x}{b-a}dx=\left[\frac{x^{2}}{2\left(b-a\right)}\right]_{a}^{b}=\frac{b^{2}-a^{2}}{2\left(b-a\right)}=\frac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{2\left(b-a\right)}=\frac{a+b}{2}3. Loi exponentielle de paramètre λ
Définition
On dit qu’une variable aléatoire X suit une exponentielle de paramètre \lambda > 0 sur \left[0;+\infty \right[ si sa densité de probabilité f est définie sur \left[0;+\infty \right[ par f\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}
Remarque
On vérifie que :
\int_{0}^{+\infty } \lambda e^{-\lambda x} dx=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }\int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda x} dx=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }\left[-e^{-\lambda x}\right]_{0}^{t}
\int_{0}^{+\infty } \lambda e^{-\lambda x} dx=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }-e^{-\lambda t}+1=1
Propriété
Si X suit une exponentielle de paramètre \lambda sur \left[0;+\infty \right[, alors pour tous réels positifs x_{1} et x_{2} :
p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right) = e^{-\lambda x_{1}}-e^{-\lambda x_{2}}
et
p\left(X\geqslant x_{1}\right) = e^{-\lambda x_{1}}
Démonstration
p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right)=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x}\right]_{x_{1}}^{x_{2}}=e^{-\lambda x_{1}}- e^{-\lambda x_{2}}
La seconde égalité s’obtient alors en faisant tendre x_{2} vers +\infty .
Théorème
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda est :
E\left(X\right)=\frac{1}{\lambda}
Démonstration
Voir exercice.
Propriété
Soientt X une variable aléatoire qui suit une exponentielle de paramètre \lambda et x et x_{0} deux réels, alors :
p\left(X > x\right) = p_{X > x_{0}}\left(X > x+x_{0}\right)
On dit qu’une loi exponentielle est «sans vieillissement».
Démonstration
Voir exercice.
