Introduction
Il arrive qu’une variable aléatoire puisse prendre n’importe quelle valeur sur \mathbb{R} ou sur un intervalle I de \mathbb{R}. On parle alors de variable aléatoire continue.
Pour une telle variable, les événements qui vont nous intéresser ne sont plus (X=5), (X=20), etc… , mais (X \leqslant 5), (5 \leqslant X \leqslant 20), etc…
1. Généralités
Définition
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I=\left[a;b\right] telle que
On dit que X est une variable aléatoire réelle continue de densité f si et seulement si pour tout x_{1} \in I et tout x_{2} \in I (x_{1}\leqslant x_{2}) :
Exemple
La fonction f définie sur I=\left[0;2\right] par f\left(x\right)=\frac{x}{2} est une fonction continue et positive sur I.
La fonction F : x \longmapsto \dfrac{x^2}{4} est une primitive de f sur I, par conséquent :
\int_{0}^{2}f\left(x\right)dx=\left[\frac{x^{2}}{4}\right]_{0}^{2}=1.
f est donc une densité de probabilité.
Soit X une variable aléatoire réelle à valeurs dans I de densité f, on a alors, par exemple :
P\left(1\leqslant X\leqslant 1,5\right)=\int_{1}^{1,5}f\left(x\right)dx.
P\left(1\leqslant X\leqslant 1,5\right) est donc l’aire (en u.a.) colorée ci-dessous :
Un calcul simple montre que P\left(1\leqslant X\leqslant 1,5\right)=\left[\frac{x^{2}}{4}\right]_{1}^{1,5}=0,3125.
Remarques
On peut étendre cette définition aux cas où l’une ou les deux bornes a et b sont infinies.
Dans ce cas, on remplace la condition \int_{a}^{ b}f\left(x\right)dx=1 par une condition portant sur une limite; par exemple si b vaut +\infty , la condition \int_{a}^{ b}f\left(x\right)dx=1 deviendra \lim\limits_{y\rightarrow +\infty }\int_{a}^{ y}f\left(x\right)dx=1
Comme indiqué en introduction, les événements du type \left(X=k\right) ne sont pas intéressants car pour tout k appartenant à I, p\left(X=k\right)=\int_{k}^{ k}f\left(x\right)dx=0.
On peut employer indifféremment des inégalités larges ou strictes :
p\left(x_{1} < X < x_{2}\right)=p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right).
Définition
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X qui suit une loi de densité f sur \left[a;b\right] est le réel noté E\left(X\right) défini par :
E\left(X\right)=\int_{a}^{b}xf\left(x\right)dx.
Exemple
Si l’on reprend l’exemple de la fonction f définie sur I=\left[0;2\right] par f\left(x\right)=\frac{x}{2}, l’espérance mathématique est :
E\left(X\right)=\int_{0}^{2}xf\left(x\right)dx=\int_{0}^{2}\frac{x^{2}}{2}dx=\left[\frac{x^{3}}{6}\right]_{0}^{2}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.
2. Loi uniforme sur un intervalle
Définition
On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle \left[a~;~b\right] si sa densité de probabilité f est constante sur \left[a~;~b\right].
Cette densité vaut alors, pour tout réel x \in [a~;~b] :
Exemple
La densité de la loi uniforme sur l’intervalle \left[0, 2\right] est représentée ci-dessous :
Densité de la loi uniforme sur l’intervalle \left[0, 2\right]
Remarque
Une primitive de la fonction x \longmapsto \dfrac{1}{b-a} sur [a~;~b] est x \longmapsto \dfrac{x}{b-a}.
On vérifie alors que : \int_{a}^{b} \frac{1}{b-a} dx=\left[\frac{x}{b-a}\right]_{a}^{b}=1.
Propriété
Si X suit une loi uniforme sur \left[a;b\right], alors pour tous réels c et d compris entre a et b avec c < d :
p\left(c\leqslant X\leqslant d\right) = \frac{d-c}{b-a}.
Démonstration
En effet, si a\leqslant c < d \leqslant b alors :
p\left(c \leqslant X\leqslant d \right)=\int_{c}^{d}\frac{1}{b-a}dx=\frac{d-c}{b-a}
Théorème
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme sur \left[a;b\right] est :
E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}.
Démonstration
La fonction x \longmapsto \dfrac{x^2}{2(b-a)} est une primitive de la fonction x \longmapsto \dfrac{x}{b-a} sur [a~;~b] ; par conséquent :
E\left(X\right) =\int_{a}^{ b}\frac{x}{b-a}dx
\phantom{E\left(X\right)} =\left[\frac{x^{2}}{2\left(b-a\right)}\right]_{a}^{b}
\phantom{E\left(X\right)}=\frac{b^{2}-a^{2}}{2\left(b-a\right)}
\phantom{E\left(X\right)}=\frac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{2\left(b-a\right)}
\phantom{E\left(X\right)}=\frac{a+b}{2}.
3. Loi exponentielle de paramètre lambda
Définition
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda > 0 sur \left[0;+\infty \right[ si sa densité de probabilité f est définie sur \left[0;+\infty \right[ par :
f\left(x\right)=\lambda \text{e}^{-\lambda x}.
Exemple
La densité de la loi exponentielle de paramètre \lambda =1,5 est la fonction f définie sur \left[0;+\infty \right[ par f\left(x\right)=1,5 \text{e}^{-1,5 x}.
Cette fonction est représentée ci-dessous :
Remarque
La fonction x \longmapsto -\text{e}^{-\lambda x} est une primitive de la fonction x \longmapsto \lambda \text{e}^{-\lambda x}.
On vérifie alors que :
\int_{0}^{+\infty } \lambda \text{e}^{-\lambda x} dx=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }\int_{0}^{t} \lambda \text{e}^{-\lambda x} dx
\phantom{\int_{0}^{+\infty } \lambda \text{e}^{-\lambda x} dx}=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }\left[-\text{e}^{-\lambda x}\right]_{0}^{t}
\phantom{\int_{0}^{+\infty } \lambda \text{e}^{-\lambda x} dx}=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }-\text{e}^{-\lambda t}+1=1.
Propriété
Si X suit une exponentielle de paramètre \lambda sur \left[0;+\infty \right[, alors pour tous réels positifs x_{1} et x_{2} :
p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right) = \text{e}^{-\lambda x_{1}}-\text{e}^{-\lambda x_{2}}
p\left(X\geqslant x_{1}\right) = \text{e}^{-\lambda x_{1}}.
Démonstration
p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right)=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\lambda \text{e}^{-\lambda x} dx
\phantom{p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right)}=\left[-\text{e}^{-\lambda x}\right]_{x_{1}}^{x_{2}}
\phantom{p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right)}=\text{e}^{-\lambda x_{1}}-\text{e}^{-\lambda x_{2}}
La seconde égalité s’obtient alors en faisant tendre x_{2} vers +\infty .
Théorème
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda est :
Démonstration
Voir exercice : [ROC] Espérance mathématique d’une loi exponentielle.
Propriété
Soient X une variable aléatoire qui suit une exponentielle de paramètre \lambda et x et x_{0} deux réels, alors :
On dit qu’une loi exponentielle est « sans vieillissement ».
Commentaire
Tout d’abord, rappelons que la notation p_{(X > x_{0})}\left(X > x+x_{0}\right) indique la probabilité (conditionnelle) de l’événement \left(X > x+x_{0}\right) sachant que l’événement (X > x_{0}) est réalisé.
Supposons que X modélise la durée de vie d’une machine.
p\left(X > x\right) correspond à la probabilité qu’une machine « neuve » fonctionne pendant une durée supérieure ou égale à x ;
p_{(X > x_{0})}\left(X > x+x_{0}\right) est la probabilité qu’une machine, qui a déjà fonctionné pendant une durée x_0, fonctionne encore pendant une durée supérieure ou égale à x.
Dans le cadre d’une loi exponentielle, ces probabilités sont égales ce qui explique l’expression « sans vieillissement ».
Démonstration
Voir exercice : Loi exponentielle – Bac S Métropole 2008.
