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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Lois à densité

Introduction

Il arrive qu'une variable aléatoire puisse prendre n'importe quelle valeur sur R\mathbb{R} ou sur un intervalle II de R\mathbb{R}. On parle alors de variable aléatoire continue.

Pour une telle variable, les événements qui vont nous intéresser ne sont plus (X=5)(X=5), (X=20)(X=20), etc... , mais (X⩽5)(X \leqslant 5), (5⩽X⩽20)(5 \leqslant X \leqslant 20), etc...

1. Généralités

Définition

Soit ff une fonction continue et positive sur un intervalle I=[a;b]I=\left[a;b\right] telle que

∫abf(x)dx=1. \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=1.

On dit que XX est une variable aléatoire réelle continue de densité ff si et seulement si pour tout x1∈Ix_{1} \in I et tout x2∈Ix_{2} \in I (x1⩽x2x_{1}\leqslant x_{2}) :

p(x1⩽X⩽x2)=∫x1x2f(x)dxp\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right)=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f\left(x\right)dx

Exemple

La fonction ff définie sur I=[0;2]I=\left[0;2\right] par f(x)=x2f\left(x\right)=\frac{x}{2} est une fonction continue et positive sur II.

La fonction F:x⟼x24F : x \longmapsto \dfrac{x^2}{4} est une primitive de ff sur II, par conséquent :

∫02f(x)dx=[x24]02=1\int_{0}^{2}f\left(x\right)dx=\left[\frac{x^{2}}{4}\right]_{0}^{2}=1.

ff est donc une densité de probabilité.

Soit X une variable aléatoire réelle à valeurs dans II de densité ff, on a alors, par exemple :

P(1⩽X⩽1,5)=∫11,5f(x)dxP\left(1\leqslant X\leqslant 1,5\right)=\int_{1}^{1,5}f\left(x\right)dx.

P(1⩽X⩽1,5)P\left(1\leqslant X\leqslant 1,5\right) est donc l'aire (en u.a.) colorée ci-dessous :

densité linéaire

Un calcul simple montre que P(1⩽X⩽1,5)=[x24]11,5=0,3125P\left(1\leqslant X\leqslant 1,5\right)=\left[\frac{x^{2}}{4}\right]_{1}^{1,5}=0,3125.

Remarques

  • On peut étendre cette définition aux cas où l'une ou les deux bornes aa et bb sont infinies.

    Dans ce cas, on remplace la condition ∫abf(x)dx=1\int_{a}^{ b}f\left(x\right)dx=1 par une condition portant sur une limite; par exemple si bb vaut +∞+\infty , la condition ∫abf(x)dx=1\int_{a}^{ b}f\left(x\right)dx=1 deviendra limy→+∞∫ayf(x)dx=1\lim\limits_{y\rightarrow +\infty }\int_{a}^{ y}f\left(x\right)dx=1

  • Comme indiqué en introduction, les événements du type (X=k)\left(X=k\right) ne sont pas intéressants car pour tout kk appartenant à II, p(X=k)=∫kkf(x)dx=0p\left(X=k\right)=\int_{k}^{ k}f\left(x\right)dx=0.

  • On peut employer indifféremment des inégalités larges ou strictes :

    p(x1<X<x2)=p(x1⩽X⩽x2)p\left(x_{1} < X < x_{2}\right)=p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right).

Définition

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire XX qui suit une loi de densité ff sur [a;b]\left[a;b\right] est le réel noté E(X)E\left(X\right) défini par :

E(X)=∫abxf(x)dxE\left(X\right)=\int_{a}^{b}xf\left(x\right)dx.

Exemple

Si l'on reprend l'exemple de la fonction ff définie sur I=[0;2]I=\left[0;2\right] par f(x)=x2f\left(x\right)=\frac{x}{2}, l'espérance mathématique est :

E(X)=∫02xf(x)dxE\left(X\right)=\int_{0}^{2}xf\left(x\right)dx=∫02x22dx=\int_{0}^{2}\frac{x^{2}}{2}dx=[x36]02=\left[\frac{x^{3}}{6}\right]_{0}^{2}=86=43=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.

2. Loi uniforme sur un intervalle

Définition

On dit qu'une variable aléatoire XX suit la loi uniforme sur l'intervalle [a ; b]\left[a~;~b\right] si sa densité de probabilité ff est constante sur [a ; b]\left[a~;~b\right].

Cette densité vaut alors, pour tout réel x∈[a ; b]x \in [a~;~b] :

f(x)=1b−a. f\left(x\right)=\frac{1}{b - a}.

Exemple

La densité de la loi uniforme sur l'intervalle [0,2]\left[0, 2\right] est représentée ci-dessous :

loi uniforme

Densité de la loi uniforme sur l'intervalle [0,2]\left[0, 2\right]

Remarque

Une primitive de la fonction x⟼1b−ax \longmapsto \dfrac{1}{b - a} sur [a ; b][a~;~b] est x⟼xb−ax \longmapsto \dfrac{x}{b - a}.

On vérifie alors que : ∫ab1b−adx=[xb−a]ab=1\int_{a}^{b} \frac{1}{b - a} dx=\left[\frac{x}{b - a}\right]_{a}^{b}=1.

Propriété

Si XX suit une loi uniforme sur [a;b]\left[a;b\right], alors pour tous réels cc et dd compris entre aa et bb avec c<dc < d :

p(c⩽X⩽d)=d−cb−ap\left(c\leqslant X\leqslant d\right) = \frac{d - c}{b - a}.

Démonstration

En effet, si a⩽c<d⩽ba\leqslant c < d \leqslant b alors :

p(c⩽X⩽d)=∫cd1b−adxp\left(c \leqslant X\leqslant d \right)=\int_{c}^{d}\frac{1}{b - a}dx=d−cb−a=\frac{d - c}{b - a}

Théorème

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire XX qui suit une loi uniforme sur [a;b]\left[a;b\right] est :

E(X)=a+b2E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}.

Démonstration

La fonction x⟼x22(b−a)x \longmapsto \dfrac{x^2}{2(b - a)} est une primitive de la fonction x⟼xb−ax \longmapsto \dfrac{x}{b - a} sur [a ; b][a~;~b] ; par conséquent :

E(X)=∫abxb−adxE\left(X\right) =\int_{a}^{ b}\frac{x}{b - a}dx
E(X)=[x22(b−a)]ab\phantom{E\left(X\right)} =\left[\frac{x^{2}}{2\left(b - a\right)}\right]_{a}^{b}
E(X)=b2−a22(b−a)\phantom{E\left(X\right)}=\frac{b^{2} - a^{2}}{2\left(b - a\right)}
E(X)=(b−a)(b+a)2(b−a)\phantom{E\left(X\right)}=\frac{\left(b - a\right)\left(b+a\right)}{2\left(b - a\right)}
E(X)=a+b2\phantom{E\left(X\right)}=\frac{a+b}{2}.

3. Loi exponentielle de paramètre lambda

Définition

On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ>0\lambda > 0 sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ si sa densité de probabilité ff est définie sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ par :

f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda \text{e}^{ - \lambda x}.

Exemple

La densité de la loi exponentielle de paramètre λ=1,5\lambda =1,5 est la fonction ff définie sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ par f(x)=1,5e−1,5xf\left(x\right)=1,5 \text{e}^{ - 1,5 x}.

Cette fonction est représentée ci-dessous :

loi exponentielle

Remarque

La fonction x⟼−e−λxx \longmapsto - \text{e}^{ - \lambda x} est une primitive de la fonction x⟼λe−λxx \longmapsto \lambda \text{e}^{ - \lambda x}.

On vérifie alors que :

∫0+∞λe−λxdx=limt→+∞∫0tλe−λxdx\int_{0}^{+\infty } \lambda \text{e}^{ - \lambda x} dx=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }\int_{0}^{t} \lambda \text{e}^{ - \lambda x} dx
∫0+∞λe−λxdx=limt→+∞[−e−λx]0t\phantom{\int_{0}^{+\infty } \lambda \text{e}^{ - \lambda x} dx}=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }\left[ - \text{e}^{ - \lambda x}\right]_{0}^{t}
∫0+∞λe−λxdx=limt→+∞−e−λt+1=1\phantom{\int_{0}^{+\infty } \lambda \text{e}^{ - \lambda x} dx}=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty } - \text{e}^{ - \lambda t}+1=1.

Propriété

Si XX suit une exponentielle de paramètre λ\lambda sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[, alors pour tous réels positifs x1x_{1} et x2x_{2} :

  • p(x1⩽X⩽x2)=e−λx1−e−λx2p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right) = \text{e}^{ - \lambda x_{1}} - \text{e}^{ - \lambda x_{2}}

  • p(X⩾x1)=e−λx1p\left(X\geqslant x_{1}\right) = \text{e}^{ - \lambda x_{1}}.

Démonstration

p(x1⩽X⩽x2)=∫x1x2λe−λxdxp\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right)=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\lambda \text{e}^{ - \lambda x} dx
p(x1⩽X⩽x2)=[−e−λx]x1x2\phantom{p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right)}=\left[ - \text{e}^{ - \lambda x}\right]_{x_{1}}^{x_{2}}
p(x1⩽X⩽x2)=e−λx1−e−λx2\phantom{p\left(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}\right)}=\text{e}^{ - \lambda x_{1}} - \text{e}^{ - \lambda x_{2}}

La seconde égalité s'obtient alors en faisant tendre x2x_{2} vers +∞+\infty .

Théorème

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire XX qui suit une loi exponentielle de paramètre λ\lambda est :

E(X)=1λE\left(X\right)=\frac{1}{\lambda}

Propriété

Soient XX une variable aléatoire qui suit une exponentielle de paramètre λ\lambda et xx et x0x_{0} deux réels, alors :

p(X>x)=p(X>x0)(X>x+x0)p\left(X > x\right) = p_{(X > x_{0})}\left(X > x+x_{0}\right)

On dit qu'une loi exponentielle est « sans vieillissement ».

Commentaire

Tout d'abord, rappelons que la notation p(X>x0)(X>x+x0)p_{(X > x_{0})}\left(X > x+x_{0}\right) indique la probabilité (conditionnelle) de l'événement (X>x+x0)\left(X > x+x_{0}\right) sachant que l'événement (X>x0)(X > x_{0}) est réalisé.

Supposons que XX modélise la durée de vie d'une machine.

  • p(X>x)p\left(X > x\right) correspond à la probabilité qu'une machine « neuve » fonctionne pendant une durée supérieure ou égale à xx ;

  • p(X>x0)(X>x+x0)p_{(X > x_{0})}\left(X > x+x_{0}\right) est la probabilité qu'une machine, qui a déjà fonctionné pendant une durée x0x_0, fonctionne encore pendant une durée supérieure ou égale à xx.

Dans le cadre d'une loi exponentielle, ces probabilités sont égales ce qui explique l'expression « sans vieillissement ».

Démonstration

Voir exercice : Loi exponentielle - Bac S Métropole 2008.

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