Lois à densité
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Créer un compteObjectifs du chapitre
- Vérifier qu'une fonction est une densité de probabilité
- Calculer une probabilité avec une loi à densité
- Calculer l'espérance d'une variable aléatoire à densité
- Utiliser la loi uniforme sur un intervalle
- Calculer une probabilité avec la loi exponentielle
- Utiliser la propriété de durée de vie sans vieillissement
En savoir plus
Introduction
Il arrive qu'une variable aléatoire puisse prendre n'importe quelle valeur sur $ \mathbb{R} $ ou sur un intervalle $ I $ de $ \mathbb{R} $. On parle alors de variable aléatoire continue.
Pour une telle variable, les événements qui vont nous intéresser ne sont plus $ (X=5) $, $ (X=20) $, etc... , mais $ (X \leqslant 5) $, $ (5 \leqslant X \leqslant 20) $, etc...
1. Généralités
Définition
Soit $ f $ une fonction continue et positive sur un intervalle $ I=[a;b] $ telle que $ \int_{a}^{b}f(x)dx=1 $.
On dit que $ X $ est une variable aléatoire réelle continue de densité $ f $ si et seulement si pour tout $ x_{1} \in I $ et tout $ x_{2} \in I $ ($ x_{1}\leqslant x_{2} $) :
Exemple
La fonction $ f $ définie sur $ I=[0;2] $ par $ f(x)=\dfrac{x}{2} $ est une fonction continue et positive sur $ I $.
La fonction $ F : x \longmapsto \dfrac{x^2}{4} $ est une primitive de $ f $ sur $ I $, par conséquent :
$ f $ est donc une densité de probabilité.
Soit X une variable aléatoire réelle à valeurs dans $ I $ de densité $ f $, on a alors, par exemple :
$ P(1\leqslant X\leqslant 1{,}5) $ est donc l'aire (en u.a.) colorée ci-dessous :
Un calcul simple montre que $ P(1\leqslant X\leqslant 1{,}5)=\left[\dfrac{x^{2}}{4}\right]_{1}^{1{,}5}=0{,}3125 $.
Remarque
- On peut étendre cette définition aux cas où l'une ou les deux bornes $ a $ et $ b $ sont infinies.
Dans ce cas, on remplace la condition $ \int_{a}^{ b}f(x)dx=1 $ par une condition portant sur une limite ; par exemple si $ b $ vaut $ +\infty $, la condition $ \int_{a}^{ b}f(x)dx=1 $ deviendra $ \lim_{y\rightarrow +\infty }\int_{a}^{ y}f(x)dx=1 $ - Comme indiqué en introduction, les événements du type $ (X=k) $ ne sont pas intéressants car pour tout $ k $ appartenant à $ I $, $ p(X=k)=\int_{k}^{ k}f(x)dx=0 $.
- On peut employer indifféremment des inégalités larges ou strictes :
$ p(x_{1} < X < x_{2})=p(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}) $.
Définition
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire $ X $ qui suit une loi de densité $ f $ sur $ [a;b] $ est le réel noté $ E(X) $ défini par :
Exemple
Si l'on reprend l'exemple de la fonction $ f $ définie sur $ I=[0;2] $ par $ f(x)=\dfrac{x}{2} $, l'espérance mathématique est :
$ E(X)=\int_{0}^{2}xf(x)dx=\int_{0}^{2}\dfrac{x^{2}}{2}dx=\left[\dfrac{x^{3}}{6}\right]_{0}^{2}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3} $.
Définition
La fonction de répartition d'une variable aléatoire $ X $ de densité $ f $ sur $ [a;b] $ est la fonction $ F $ définie pour tout réel $ x $ par :
Pour $ x \leqslant a $, $ F(x)=0 $ ; pour $ x \geqslant b $, $ F(x)=1 $.
Exemple
Pour la fonction $ f $ définie sur $ [0;2] $ par $ f(x)=\dfrac{x}{2} $, la fonction de répartition est, pour tout $ x \in [0;2] $ :
$ F(x)=\int_{0}^{x}\dfrac{t}{2}dt=\left[\dfrac{t^{2}}{4}\right]_{0}^{x}=\dfrac{x^{2}}{4} $.
On vérifie bien que $ F(0)=0 $ et $ F(2)=1 $.
Définition
La variance d'une variable aléatoire $ X $ de densité $ f $ sur $ [a;b] $ est le réel positif noté $ V(X) $ défini par :
On a la formule équivalente (König-Huygens) : $ V(X)=\int_{a}^{b}x^{2}f(x)dx - (E(X))^{2} $.
L'écart-type est $ \sigma(X)=\sqrt{V(X)} $.
2. Loi uniforme sur un intervalle
Définition
On dit qu'une variable aléatoire $ X $ suit la loi uniforme sur l'intervalle $ [a;b] $ si sa densité de probabilité $ f $ est constante sur $ [a;b] $.
Cette densité vaut alors, pour tout réel $ x \in [a;b] $ :
Exemple
La densité de la loi uniforme sur l'intervalle $ [0;2] $ est représentée ci-dessous :
Remarque
Une primitive de la fonction $ x \longmapsto \dfrac{1}{b - a} $ sur $ [a;b] $ est $ x \longmapsto \dfrac{x}{b - a} $.
On vérifie alors que : $ \int_{a}^{b} \dfrac{1}{b - a} dx=\left[\dfrac{x}{b - a}\right]_{a}^{b}=1 $.
Propriété
Si $ X $ suit une loi uniforme sur $ [a;b] $, alors pour tous réels $ c $ et $ d $ compris entre $ a $ et $ b $ avec $ c < d $ :
[preuve]
En effet, si $ a\leqslant c < d \leqslant b $ alors :
$ p(c \leqslant X\leqslant d )=\int_{c}^{d}\dfrac{1}{b - a}dx=\dfrac{d - c}{b - a} $
[/preuve]
Théorème
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire $ X $ qui suit une loi uniforme sur $ [a;b] $ est :
[preuve]
La fonction $ x \longmapsto \dfrac{x^2}{2(b - a)} $ est une primitive de la fonction $ x \longmapsto \dfrac{x}{b - a} $ sur $ [a;b] $ ; par conséquent :
$ E(X) =\int_{a}^{ b}\dfrac{x}{b - a}dx =\left[\dfrac{x^{2}}{2(b - a)}\right]_{a}^{b} =\dfrac{b^{2} - a^{2}}{2(b - a)} =\dfrac{(b - a)(b+a)}{2(b - a)} =\dfrac{a+b}{2} $.
[/preuve]
Propriété
Si $ X $ suit une loi uniforme sur $ [a;b] $, sa variance est $ V(X)=\dfrac{(b - a)^{2}}{12} $.
Remarque
Le cas particulier de la loi uniforme sur $ [0;1] $ joue un rôle fondamental en simulation : sa densité vaut $ f(x)=1 $ sur $ [0;1] $, son espérance est $ \dfrac{1}{2} $ et sa variance est $ \dfrac{1}{12} $. Toutes les fonctions de génération de nombres pseudo-aléatoires (par exemple $ \texttt{random()} $ en Python) reposent sur cette loi.
3. Loi exponentielle de paramètre lambda
Définition
On dit qu'une variable aléatoire $ X $ suit une loi exponentielle de paramètre $ \lambda > 0 $ sur $ [0;+\infty[ $ si sa densité de probabilité $ f $ est définie sur $ [0;+\infty[ $ par :
Exemple
La densité de la loi exponentielle de paramètre $ \lambda=1{,}5 $ est la fonction $ f $ définie sur $ [0;+\infty[ $ par $ f(x)=1{,}5 \text{e}^{ - 1{,}5 x} $.
Cette fonction est représentée ci-dessous :
Remarque
La fonction $ x \longmapsto - \text{e}^{ - \lambda x} $ est une primitive de la fonction $ x \longmapsto \lambda \text{e}^{ - \lambda x} $.
On vérifie alors que :
$ \int_{0}^{+\infty } \lambda \text{e}^{ - \lambda x} dx=\lim_{t\rightarrow +\infty }\int_{0}^{t} \lambda \text{e}^{ - \lambda x} dx =\lim_{t\rightarrow +\infty }\left[ - \text{e}^{ - \lambda x}\right]_{0}^{t} =\lim_{t\rightarrow +\infty } - \text{e}^{ - \lambda t}+1=1 $.
Propriété
Si $ X $ suit une exponentielle de paramètre $ \lambda $ sur $ [0;+\infty[ $, alors pour tous réels positifs $ x_{1} $ et $ x_{2} $ :
- $ p(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2}) = \text{e}^{ - \lambda x_{1}} - \text{e}^{ - \lambda x_{2}} $
- $ p(X\geqslant x_{1}) = \text{e}^{ - \lambda x_{1}} $
[preuve]
$ p(x_{1}\leqslant X\leqslant x_{2})=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\lambda \text{e}^{ - \lambda x} dx =\left[ - \text{e}^{ - \lambda x}\right]_{x_{1}}^{x_{2}} =\text{e}^{ - \lambda x_{1}} - \text{e}^{ - \lambda x_{2}} $
La seconde égalité s'obtient alors en faisant tendre $ x_{2} $ vers $ +\infty $.
[/preuve]
Théorème
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire $ X $ qui suit une loi exponentielle de paramètre $ \lambda $ est :
Propriété
Soient $ X $ une variable aléatoire qui suit une exponentielle de paramètre $ \lambda $ et $ x $ et $ x_{0} $ deux réels, alors :
On dit qu'une loi exponentielle est « sans vieillissement ».
[commentaire]
Tout d'abord, rappelons que la notation $ p_{(X > x_{0})}(X > x+x_{0}) $ indique la probabilité (conditionnelle) de l'événement $ (X > x+x_{0}) $ sachant que l'événement $ (X > x_{0}) $ est réalisé.
Supposons que $ X $ modélise la durée de vie d'une machine.
- $ p(X > x) $ correspond à la probabilité qu'une machine « neuve » fonctionne pendant une durée supérieure ou égale à $ x $ ;
- $ p_{(X > x_{0})}(X > x+x_{0}) $ est la probabilité qu'une machine, qui a déjà fonctionné pendant une durée $ x_{0} $, fonctionne encore pendant une durée supérieure ou égale à $ x $.
Dans le cadre d'une loi exponentielle, ces probabilités sont égales ce qui explique l'expression « sans vieillissement ».
[/commentaire]
Les questions essentielles
1. Comment vérifier qu'une fonction est une densité de probabilité ?
Il faut vérifier trois conditions : la fonction est continue sur l'intervalle, elle est positive, et son intégrale sur tout l'intervalle vaut $ 1 $.
Voir la fiche méthode : Vérifier qu'une fonction est une densité de probabilité
2. Comment calculer une probabilité avec une loi à densité ?
On traduit l'événement en intégrale : $ p(c \leqslant X \leqslant d) = \int_{c}^{d} f(x)\,dx $, puis on calcule cette intégrale à l'aide d'une primitive.
Voir la fiche méthode : Calculer une probabilité avec une loi à densité
3. Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire à densité ?
On applique la formule $ E(X) = \int_{a}^{b} x\,f(x)\,dx $ : on développe le produit $ x \times f(x) $, on cherche une primitive et on calcule.
Voir la fiche méthode : Calculer l'espérance d'une variable aléatoire à densité
4. Comment utiliser la loi uniforme sur un intervalle ?
Pour une loi uniforme sur $ [a;b] $, on applique directement les formules $ p(c \leqslant X \leqslant d) = \dfrac{d - c}{b - a} $ et $ E(X) = \dfrac{a + b}{2} $.
Voir la fiche méthode : Utiliser la loi uniforme sur un intervalle
5. Comment calculer une probabilité avec la loi exponentielle ?
On utilise les formules directes $ p(X \leqslant a) = 1 - \text{e}^{-\lambda a} $, $ p(X \geqslant a) = \text{e}^{-\lambda a} $ ou $ p(a \leqslant X \leqslant b) = \text{e}^{-\lambda a} - \text{e}^{-\lambda b} $.
Voir la fiche méthode : Calculer une probabilité avec la loi exponentielle
6. Que signifie « la loi exponentielle est sans vieillissement » ?
Cela signifie que $ p_{(X > s)}(X > s + t) = p(X > t) $ : la probabilité qu'un composant fonctionne encore pendant une durée $ t $ ne dépend pas du temps déjà écoulé.
Voir la fiche méthode : Utiliser la propriété de durée de vie sans vieillissement