Exercice 3 - 5 points

Commun à tous les candidats

Un téléphone portable contient en mémoire 3200 chansons archivées par catégories : rock, techno, rap, reggae ... dont certaines sont interprétées en français.

Parmi toutes les chansons enregistrées, 960 sont classées dans la catégorie rock.

Une des fonctionnalités du téléphone permet d'écouter de la musique en mode « lecture aléatoire » : les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équiprobable parmi l'ensemble du répertoire.

Au cours de son footing hebdomadaire, le propriétaire du téléphone écoute une chanson grâce à ce mode de lecture.

On note:

• $R$ l'évènement : « la chanson écoutée est une chanson de la catégorie rock »

• $F$ l'évènement : « la chanson écoutée est interprétée en français »

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

1. Calculer $p(R)$, la probabilité de l'évènement $R$.

2. 35 % des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français; traduire cette donnée en utilisant les évènements $R$ et $F$.

3. Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu'elle soit interprétée en français.

4. Parmi toutes les chansons enregistrées 38,5 % sont interprétées en français.

   Montrer que $p\left(F \cap \overline R\right) = 0,28$.

5. En déduire $p_{\overline R}(F)$ et exprimer par une phrase ce que signifie ce résultat.

Partie B

Les résultats de cette partie seront arrondis au millième. Le propriétaire du téléphone écoute régulièrement de la musique à l'aide de son téléphone portable.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque écoute de musique, associe la durée (en minutes) correspondante; on admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu=30$ et d'écart-type $\sigma=10$.

Le propriétaire écoute de la musique.

1. Quelle est la probabilité que la durée de cette écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes?

2. Quelle est la probabilité que cette écoute dure plus d'une heure?