Inéquation et factorisation

Il faut surtout éviter de développer !
On aboutirait alors à une inéquation du second degré que l'on ne saurait pas résoudre (en Seconde....).
Il faut au contraire factoriser puis dresser un tableau de signes.

$ x^2 - 9 $ se factorise à l'aide de l'identité remarquable : $ a^2 - b^2=(a - b)(a+b) $ :
$ x^2 - 9 \geqslant (x - 3)(3x+7) \Leftrightarrow (x - 3)(x+3) \geqslant (x - 3)(3x+7) $
On « fait passer » le membre de droite dans le membre de gauche en soustrayant :
$ \phantom{x^2 - 9 \geqslant (x - 3)(3x+7)} \Leftrightarrow (x - 3)(x+3) - (x - 3)(3x+7)\geqslant 0 $
Enfin on met $ x - 3 $ en facteur :
$ \phantom{x^2 - 9 \geqslant (x - 3)(3x+7)} \Leftrightarrow (x - 3)\left[(x+3) - (3x+7)\right]\geqslant 0 $
$ \phantom{x^2 - 9 \geqslant (x - 3)(3x+7)} \Leftrightarrow (x - 3)\left(x+3 - 3x - 7\right)\geqslant 0 $
$ \phantom{x^2 - 9 \geqslant (x - 3)(3x+7)} \Leftrightarrow (x - 3)( - 2x - 4)\geqslant 0 $
On étudie ensuite le signe de chacun des facteurs :

• $ x - 3=0 \Leftrightarrow x=3 $ et comme le coefficient directeur (égal à $ 1 $) est strictement positif, $ x - 3 $ est négatif pour $ x < 3 $ et positif pour $ x > 3 $.
• $ - 2x - 4=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{4}{ - 2} \Leftrightarrow x= - 2 $ et comme le coefficient directeur (égal à $ - 2 $) est strictement négatif, $ - 2x - 4 $ est positif pour $ x < - 2 $ et négatif pour $ x > - 2 $.

On obtient alors le tableau de signes ci-dessous :

$ (x - 3)( - 2x - 4) $ est positif ou nul lorsque $ x $ est compris (au sens large) entre $ - 2 $ et $ 3 $.
L'ensemble des solutions est donc $ S= [ - 2 ; 3] $.
L'intervalle est fermé car l'égalité est « large » ($ \geqslant $).