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Produit scalaire Exercices

[ROC] Formule de soustraction des cosinus

Durée estimée
10 minutes
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Objectif travaillé

Énoncé

$ \alpha $ et $ \beta $ désignent deux réels.

Sur le cercle trigonométrique, on place les points $ A $ et $ B $ tels que $ \alpha $ et $ \beta $ soient des mesures des angles orientés $ \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OA}\right) $ et $ \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OB}\right) $

Soustraction des cosinus
  1. Donner les coordonnées des points $ A $ et $ B $ en fonction de $ \alpha $ et $ \beta $.
  2. Calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} $ en fonction de $ \alpha $ et $ \beta $.

  3. En déduire la formule :

    $ \cos\left(\alpha - \beta \right)=\cos\left(\alpha \right)\cos\left(\beta \right)+\sin\left(\alpha \right)\sin\left(\beta \right) $

Corrigé

  1. Par définition du cercle trigonométrique, si un point $ M $ est tel que $ \theta $ est une mesure de l'angle orienté $ \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OM}\right) $, alors ses coordonnées sont $ (\cos \theta ; \sin \theta) $.

    Ainsi, les coordonnées des points $ A $ et $ B $ sont :
    $ A(\cos \alpha ; \sin \alpha) $ et $ B(\cos \beta ; \sin \beta) $
  2. Le produit scalaire $ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} $ peut se calculer à l'aide des coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{OA}(\cos \alpha ; \sin \alpha) $ et $ \overrightarrow{OB}(\cos \beta ; \sin \beta) $ :
    $ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = x_A x_B + y_A y_B $
    $ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $

  3. D'autre part, d'après la définition du produit scalaire avec le cosinus :
    $ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = OA \times OB \times \cos\left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\right) $

    Comme $ A $ et $ B $ sont sur le cercle trigonométrique de centre $ O $, on a $ OA = 1 $ et $ OB = 1 $.

    De plus, d'après la relation de Chasles sur les angles orientés :
    $ \left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\right) = \left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OI}\right) + \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OB}\right) $
    $ \left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\right) = -\left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OA}\right) + \left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OB}\right) $
    $ \left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\right) = -\alpha + \beta = \beta - \alpha $

    On en déduit :
    $ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = 1 \times 1 \times \cos(\beta - \alpha) $
    $ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = \cos(\beta - \alpha) $

    La fonction cosinus étant paire, $ \cos(\beta - \alpha) = \cos(\alpha - \beta) $. Donc :
    $ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = \cos(\alpha - \beta) $

    En égalisant les deux expressions du produit scalaire obtenues aux questions 2 et 3, on obtient la formule :

    $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $