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[ROC] Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Pré-requis

  1. La fonction exponentielle (notée exp\text{exp}) est l'unique fonction dérivable sur R\mathbb{R} telle que :

    exp′=exp\text{exp}^{\prime}=\text{exp}
    exp(0)=1\text{exp}\left(0\right)=1

    La fonction exponentielle est strictement croissante et strictement positive sur R\mathbb{R}.

  2. On utilisera également le résultat suivant :
    Si ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}, alors la fonction x↦f(ax+b)x\mapsto f\left(ax+b\right) est dérivable sur R\mathbb{R} et sa dérivée est la fonction x↦af′(ax+b)x\mapsto af^{\prime}\left(ax+b\right)

Soit aa un réel quelconque et f f la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=exp(x+a)exp(a)f\left(x\right)=\frac{\text{exp}\left(x+a\right)}{\text{exp}\left(a\right)}.

  1. Montrer que pour tout x∈R:f′(x)=f(x)x \in \mathbb{R} : f^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right).

  2. Calculer f(0)f\left(0\right). Que peut-on en conclure pour la fonction ff ?

    En déduire que pour tous réels aa et bb : exp(a+b)=exp(a)×exp(b)\text{exp}\left(a+b\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left(b\right).

  3. Montrer que pour tout réel aa : exp(−a)=1exp(a)\text{exp}\left( - a\right)=\frac{1}{\text{exp}\left(a\right)}

    En déduire que pour tous réels aa et bb : exp(a−b)=exp(a)exp(b)\text{exp}\left(a - b\right)=\frac{\text{exp}\left(a\right)}{\text{exp}\left(b\right)}.

  4. Démontrer par récurrence que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} :
    exp(na)=(exp(a))n\text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n}

  5. A l'aide des questions précédentes, montrer que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} :
    exp(−na)=(exp(a))−n\text{exp}\left( - na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{ - n}

    En déduire que l'égalité exp(na)=(exp(a))n\text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} est vraie pour tout n∈Zn \in \mathbb{Z}

Corrigé

  1. D'après les prérequis, la dérivée de la fonction x↦exp(x+a)x\mapsto \text{exp}\left(x+a\right) est la fonction x↦exp(x+a)x\mapsto \text{exp}\left(x+a\right) (c'est à dire elle-même).

    Par conséquent :

    f′(x)=exp(x+a)exp(a)=f(x)f^{\prime}\left(x\right)=\frac{\text{exp}\left(x+a\right)}{\text{exp}\left(a\right)}=f\left(x\right)

    (Remarque : pas besoin d'utiliser la formule (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^{2}} car le dénominateur est une constante)

  2. f(0)=exp(0+a)exp(a)=1f\left(0\right)=\frac{\text{exp}\left(0+a\right)}{\text{exp}\left(a\right)}=1

    La fonction ff est égale à sa dérivée et vérifie f(0)=1f\left(0\right)=1. Or, d'après le prérequis a. la fonction exponentielle est la seule a vérifier ces deux conditions. Donc pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} :

    f(x)=exp(x)f\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right)

    En posant x=bx=b on obtient :

    f(b)=exp(b+a)exp(a)=exp(b)f\left(b\right)=\frac{\text{exp}\left(b+a\right)}{\text{exp}\left(a\right)}=\text{exp}\left(b\right)

    Par conséquent : exp(a+b)=exp(a)×exp(b)\text{exp}\left(a+b\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left(b\right)

    Remarque

    La formule précédente est vrai pour tous réels aa et bb. Cela signifie qu'on va pouvoir remplacer aa etbb par n'importe quel nombre réel (opération que l'on fera souvent dans les questions qui suivent...)

  3. En faisant b=−ab= - a dans l'égalité précédente on obtient :

    exp(a−a)=exp(a)×exp(−a)\text{exp}\left(a - a\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left( - a\right)

    exp(0)=exp(a)×exp(−a)\text{exp}\left(0\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left( - a\right)

    1=exp(a)×exp(−a)1=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left( - a\right)

    1exp(a)=exp(−a)\frac{1}{\text{exp}\left(a\right)}=\text{exp}\left( - a\right)

    En remplaçant cette fois bb par −b - b dans le résultat de la question 2. on obtient :

    exp(a−b)=exp(a)×exp(−b)\text{exp}\left(a - b\right)=\text{exp}\left(a\right)\times \text{exp}\left( - b\right)

    et d'après le résultat précédent : exp(−b)=1exp(b)\text{exp}\left( - b\right)=\frac{1}{\text{exp}\left(b\right)}

    par conséquent :

    exp(a−b)=exp(a)exp(b)\text{exp}\left(a - b\right)=\frac{\text{exp}\left(a\right)}{\text{exp}\left(b\right)}

  4. Initialisation : La propriété que l'on souhaite démontrer est vraie pour n=0n=0 car :

    exp(0a)=exp(0)=1\text{exp}\left(0a\right) = \text{exp}\left(0\right) = 1

    (exp(a))0=1\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{0} = 1 (n'importe quel réel non nul à la puissance zéro donne 11)

    donc: exp(0a)=(exp(a))0\text{exp}\left(0a\right) =\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{0}

    Hérédité Supposons que pour un certain entier nn, exp(na)=(exp(a))n\text{exp}\left(na\right) =\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} («hypothèse de récurrence»)

    Alors :

    exp((n+1)a)=exp(na+a)=exp(na)×exp(a)\text{exp}\left(\left(n+1\right)a\right)=\text{exp}\left(na+a\right)=\text{exp}\left(na\right)\times \text{exp}\left(a\right) d'après 2. exp((n+1)a)=(exp(a))n×exp(a)\text{exp}\left(\left(n+1\right)a\right)=\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n}\times \text{exp}\left(a\right) (d'après l'hypothèse de récurrence)

    exp((n+1)a)=(exp(a))n+1\text{exp}\left(\left(n+1\right)a\right)=\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n+1} (propriété des puissances)

    Ceci montre par récurrence que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} :

    exp(na)=(exp(a))n\text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n}

  5. exp(−na)=1exp(na)\text{exp}\left( - na\right) = \frac{1}{\text{exp}\left(na\right)} (d'après 3.)

    exp(−na)=1(exp(a))n\text{exp}\left( - na\right) = \frac{1}{\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n}} (d'après 4.)

    exp(−na)=(exp(a))−n\text{exp}\left( - na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{ - n} (propriété des puissances)

    Soit n∈Zn \in \mathbb{Z}.

    Si n⩾0n\geqslant 0, exp(na)=(exp(a))n\text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} d'après 4. Si n<0n < 0, on pose n=−n′n= - n^{\prime} :

    exp(na)=exp(−n′a)=(exp(a))−n′\text{exp}\left(na\right) = \text{exp}\left( - n^{\prime}a\right)=\left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{ - n^{\prime}} (d'après le calcul ci-dessus)

    exp(na)=(exp(a))n\text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n}

    Par conséquent, l'égalité exp(na)=(exp(a))n\text{exp}\left(na\right) = \left(\text{exp}\left(a\right)\right)^{n} est vraie pour tout n∈Zn \in \mathbb{Z}

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