Fonction exponentielle

Remarque

L'existence d'une telle fonction est admise.

Son unicité est démontrée dans l'exercice : [ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle

Remarque

On démontre (mais c'est hors programme) que $\text{e} \left(\approx 2,71828 . . . \right)$ est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.

Remarque

Cette propriété très importante est démontrée dans l'exercice : [ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle

Démonstration

On utilise le théorème de dérivation de fonctions composées.

Remarques

• Ces résultats sont démontrés dans l'exercice : [ROC] Limites de la fonction exponentielle

• On déduit des résultats précédents le tableau de variation et l'allure de la courbe de la fonction exponentielle:

Remarques

• Voir, à nouveau, l'exercice : [ROC] Limites de la fonction exponentielle pour la démonstration des deux premières formules.

• Les deux premières formules peuvent se généraliser de la façon suivante :

  Pour tout entier $n > 0$ :

  $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x^{n}\text{e}^{x}=0$

  $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\text{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty$

• La troisième formule s'obtient en utilisant la définition du nombre dérivé pour x=0 : (voir Calculer une limite à l'aide du nombre dérivé).

  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\text{e}^{x}-1}{x}=\text{exp}^{\prime}\left(0\right)=\text{exp}\left(0\right)=1$

Remarque

Ces résultats sont extrêmement utiles pour résoudre équations et inéquations.

Remarques

• Ces propriétés sont démontrées dans l'exercice : [ROC] Propriétés algébriques de la fonction exponentielle Elles sont similaires aux propriétés des puissances vues au collège (et justifient la notation $\text{e}^{x}$)

• Si l'on pose $a=\frac{1}{2}$ et $n=2$ dans la formule $\left(\text{e}^{a}\right)^{n}=\text{e}^{na}$ on obtient $\left(\text{e}^{^{\frac{1}{2}}}\right)^{2}=\text{e}^{1}=\text{e}$ donc comme $\text{e}^{^{\frac{1}{2}}} > 0$ : $\text{e}^{^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{\text{e}}$