1. Définition de la fonction exponentielle
Théorème et Définition
Il existe une unique fonction f dérivable sur \mathbb{R} telle que f^{\prime}=f et f\left(0\right)=1
Cette fonction est appelée fonction exponentielle (de base e) et notée \text{exp}.
Remarque
L'existence d'une telle fonction est admise.
Son unicité est démontrée dans l'exercice : [ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle
Notation
On note \text{e}=\text{exp}\left(1\right).
On démontre que pour tout entier relatif n \in \mathbb{Z} : \text{exp}\left(n\right)=\text{e}^{n}
Cette propriété conduit à noter \text{e}^{x} l'exponentielle de x pour tout x \in \mathbb{R}
Remarque
On démontre (mais c'est hors programme) que \text{e} \left(\approx 2,71828 . . . \right) est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il ne peut s'écrire sous forme de fraction.
2. Etude de la fonction exponentielle
Propriété
La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur \mathbb{R}.
Remarque
Cette propriété très importante est démontrée dans l'exercice : [ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle
Propriété
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Alors la fonction f : x\mapsto \text{e}^{u\left(x\right)} est dérivable sur I et :
Démonstration
On utilise le théorème de dérivation de fonctions composées.
Exemple
Soit f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\text{e}^{-x}
f est dérivable sur \mathbb{R} et f^{\prime}\left(x\right)=-\text{e}^{-x}
Limites
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\text{e}^{x}=0
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\text{e}^{x}=+\infty
Remarques
Ces résultats sont démontrés dans l'exercice : [ROC] Limites de la fonction exponentielle
On déduit des résultats précédents le tableau de variation et l'allure de la courbe de la fonction exponentielle:
Tableau de variation de la fonction exponentielle
Graphique de la fonction exponentielle
Théorème ( «Croissance comparée»)
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x\text{e}^{x}=0
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\text{e}^{x}}{x}=+\infty
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\text{e}^{x}-1}{x}=1
Remarques
Voir, à nouveau, l'exercice : [ROC] Limites de la fonction exponentielle pour la démonstration des deux premières formules.
Les deux premières formules peuvent se généraliser de la façon suivante :
Pour tout entier n > 0 :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }x^{n}\text{e}^{x}=0
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\text{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty
La troisième formule s'obtient en utilisant la définition du nombre dérivé pour x=0 : (voir Calculer une limite à l'aide du nombre dérivé).
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\text{e}^{x}-1}{x}=\text{exp}^{\prime}\left(0\right)=\text{exp}\left(0\right)=1
Théorème
La fonction exponentielle étant strictement croissante, si a et b sont deux réels :
\text{e}^{a}=\text{e}^{b} si et seulement si a=b
\text{e}^{a} < \text{e}^{b} si et seulement si a < b
Remarque
Ces résultats sont extrêmement utiles pour résoudre équations et inéquations.
3. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
Propriétés
Pour tout réels a et b et tout entier n \in \mathbb{Z} :
\text{e}^{a+b}=\text{e}^{a} \times \text{e}^{b}
\text{e}^{-a}=\frac{1}{\text{e}^{a}}
\text{e}^{a-b}=\frac{\text{e}^{a}}{\text{e}^{b}}
\left(\text{e}^{a}\right)^{n}=\text{e}^{na}
Remarques
Ces propriétés sont démontrées dans l'exercice : [ROC] Propriétés algébriques de la fonction exponentielle Elles sont similaires aux propriétés des puissances vues au collège (et justifient la notation \text{e}^{x})
Si l'on pose a=\frac{1}{2} et n=2 dans la formule \left(\text{e}^{a}\right)^{n}=\text{e}^{na} on obtient \left(\text{e}^{^{\frac{1}{2}}}\right)^{2}=\text{e}^{1}=\text{e} donc comme \text{e}^{^{\frac{1}{2}}} > 0 : \text{e}^{^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{\text{e}}
