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[ROC] Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle

Prérequis :

  1. La fonction exponentielle (notée exp\text{exp}) vérifie :

    ♦  exp′=exp\text{exp}^{\prime}=\text{exp}

    ♦  exp(0)=1\text{exp}\left(0\right)=1

  2. On admettra également la propriété suivante (cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires) :

    Si ff est une fonction dérivable sur un intervalle [a;b]\left[a ; b\right] et si f(a)f\left(a\right) et f(b)f\left(b\right) sont de signes contraires, alors il existe α∈[a;b]\alpha \in \left[a ; b\right] tel que f(α)=0f\left(\alpha \right)=0.

  3. On rappelle enfin le résultat suivant : Si ff est une fonction dérivable sur R\mathbb{R}, alors la fonction x↦f(ax+b)x\mapsto f\left(ax+b\right) est dérivable sur R\mathbb{R} et sa dérivée est la fonction x↦af′(ax+b)x\mapsto af^{\prime}\left(ax+b\right)

Partie A

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=exp(x)×exp(−x)f\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right)\times \text{exp}\left( - x\right).

  1. Montrer que pour tout x∈R:f′(x)=0x \in \mathbb{R} : f^{\prime}\left(x\right)=0.

  2. En déduire que pour réel xx, f(x)=1f\left(x\right)=1.

    Montrez que pour tout réel xx, exp(x)≠0\text{exp}\left(x\right)\neq 0

Partie B

Soit gg une fonction dérivable sur R\mathbb{R} telle que g′=gg^{\prime}=g et g(0)=1g\left(0\right)=1.

On pose h(x)=g(x)exp(x)h\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{\text{exp}\left(x\right)}

  1. Calculer h′(x)h^{\prime}\left(x\right).

  2. En déduire que pour réel xx, h(x)=1h\left(x\right)=1.

    Que peut-on en déduire pour la fonction gg ?

Partie C

  1. Montrer que, pour tout réel xx, exp(x)>0\text{exp}\left(x\right) > 0 (on raisonnera par l'absurde et on utilisera le prérequis b.)

  2. En déduire que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb{R}.

Corrigé

Partie A

  1. On pose u(x)=exp(x)u\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right) et v(x)=exp(−x)v\left(x\right)=\text{exp}\left( - x\right).

    On a alors u′(x)=exp(x)u^{\prime}\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right) et v′(x)=−exp(−x)v^{\prime}\left(x\right)= - \text{exp}\left( - x\right) (d'après les prérequis a. et c..

    Par conséquent :

    f′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)=exp(x)exp(−x)+exp(x)×−exp(−x)=0f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)=\text{exp}\left(x\right)\text{exp}\left( - x\right)+\text{exp}\left(x\right)\times - \text{exp}\left( - x\right)=0

  2. On en déduit que ff est constante sur R\mathbb{R}.

    Comme f(0)=exp(0)×exp(−0)=1f\left(0\right)=\text{exp}\left(0\right)\times \text{exp}\left( - 0\right)=1 (d'après le prérequis a.), f(x)=1f\left(x\right)=1 pour tout réel xx.

    On raisonne ensuite par l'absurde.

    S'il existait un réel x0x_{0} pour lequel exp(x0)=0\text{exp}\left(x_{0}\right)=0 on aurait f(x0)=exp(x0)exp(−x0)=0×exp(−x0)=0f\left(x_{0}\right)=\text{exp}\left(x_{0}\right)\text{exp}\left( - x_{0}\right)=0\times \text{exp}\left( - x_{0}\right)=0

    ce qui contredit le résultat précédent.

    Donc, pour tout réel xx, exp(x)≠0\text{exp}\left(x\right)\neq 0

Partie B

  1. h′(x)=g′(x)exp(x)−g(x)exp(x)(exp(x))2=g(x)exp(x)−g(x)exp(x)(exp(x))2=0h^{\prime}\left(x\right)=\frac{g^{\prime}\left(x\right)\text{exp}\left(x\right) - g\left(x\right)\text{exp}\left(x\right)}{\left(\text{exp}\left(x\right)\right)^{2}}=\frac{g\left(x\right)\text{exp}\left(x\right) - g\left(x\right)\text{exp}\left(x\right)}{\left(\text{exp}\left(x\right)\right)^{2}}=0

  2. Donc hh est constante sur R\mathbb{R} et comme h(0)=g(0)exp(0)=11=1h\left(0\right)=\frac{g\left(0\right)}{exp\left(0\right)}=\frac{1}{1}=1, h(x)=1h\left(x\right)=1 pour réel xx.

    On en déduit que, pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} : g(x)exp(x)=1\frac{g\left(x\right)}{\text{exp}\left(x\right)}=1 c'est à dire g(x)=exp(x)g(x)=\text{exp}(x) .

    gg est donc la fonction exponentielle.

    La fonction exponentielle est donc la seule fonction dérivable sur R\mathbb{R} vérifiant :

    ♦  exp′=exp\text{exp}^{\prime}=\text{exp}

    ♦  exp(0)=1\text{exp}\left(0\right)=1

Partie C

  1. On raisonne là encore par l'absurde.

    S'il existait un réel x0x_{0} pour lequel exp(x0)<0\text{exp}\left(x_{0}\right) < 0, comme exp(0)=1>0\text{exp}\left(0\right)=1 > 0 d'après le prérequis b. (ou le théorème des valeurs intermédiaires), il existerait un réel α\alpha compris entre x0x_{0} et 00 tel que exp(α)=0\text{exp}\left(\alpha \right)=0.

    Or ceci contredit le résultat de la question A. 2. Donc la fonction exponentielle n'est jamais strictement négative sur R\mathbb{R}. Comme elle n'est jamais nulle non plus (toujours d'après A. 2.), pour tout réel xx, exp(x)>0\text{exp}\left(x\right) > 0

  2. Comme exp′=exp\text{exp}^{\prime}=\text{exp} est strictement positive sur R\mathbb{R}, la fonction exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb{R} .

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