Propriétés algébriques de l'exponentielle

1^re

Propriétés algébriques de l'exponentielle

Ce quiz comporte 6 questions

moyen

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1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle1

Soit l'équation :

$\frac{ \text{e}^{ x } - 1 }{ \text{e}^{ x } + 1 } = 0$

L'ensemble des solutions de cette équation est $S= \left\{ 0 \right\}$

VRAI FAUX

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle1

Réponse Question suivante

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle1

Explications Question suivante

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle1

C'est vrai.

Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul ; or :

$\text{e}^{ x } - 1 = 0 \Leftrightarrow \text{e}^{ x } = 1 \Leftrightarrow x=0$

donc $S= \left\{ 0 \right\}.$

Énoncé Question suivante

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle2

Soit l'équation $(E)$ :

$\left( \text{e}^{ x } - 1 \right) \left( \text{e}^{ x } + 1 \right) = 0$

L'équation $(E)$ possède deux solutions sur $\mathbb{R}.$

VRAI FAUX

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle2

Réponse Question suivante

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle2

Explications Question suivante

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle2

C'est faux.

$\left( \text{e}^{ x } - 1 \right) \left( \text{e}^{ x } + 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \text{e}^{ x } - 1 =0$ ou $\text{e}^{ x } + 1 =0$

Or, si la première équation admet une solution (égale à 0), le seconde n'a pas de solution car $\text{e}^{ x } + 1 > 0.$

L'équation $(E)$ possède donc une unique solution sur $\mathbb{R}.$

Énoncé Question suivante

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle3

L'équation $\text{e}^{ x - 1 } = 0$ a pour ensemble des solutions :

$S = \left\{ 1 \right\}$

VRAI FAUX

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle3

Réponse Question suivante

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle3

Explications Question suivante

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle3

C'est faux.

La fonction exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives.

Pour tout réel $x$ , on a donc $\text{e}^{ x - 1 } > 0.$

L'équation $\text{e}^{ x - 1 } = 0$ n'admet alors aucune solution.

Énoncé Question suivante

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle4

Soit $x$ un réel et :

$A = \left( \text{e}^{ x } +1 \right) ^2 - 2 \text{e}^{ x } - 1$

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $A = \text{e}^{ 2x }$

VRAI FAUX

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle4

Réponse Question suivante

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle4

Explications Question suivante

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle4

C'est vrai.

$\left( \text{e}^{ x } +1 \right) ^2 = \left( \text{e}^{ x } \right) ^2 + 2 \text{e}^{ x } + 1 = \text{e}^{ 2x } + 2 \text{e}^{ x } + 1$

Par conséquent :

$A = \left( \text{e}^{ x } +1 \right) ^2 - 2 \text{e}^{ x } - 1 = \text{e}^{ 2x }$

Énoncé Question suivante

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle5

Pour $x \in \mathbb{R}$ , on pose :

$E = \frac{ \text{e}^{ x } - 1 }{ \text{e}^{ x } +1 }+\frac{ \text{e}^{ - x } - 1 }{ \text{e}^{ - x } +1 }$

$E=0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

VRAI FAUX

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle5

Réponse Question suivante

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle5

Explications Question suivante

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle5

C'est vrai.

En utilisant le fait que $\text{e}^{ - x } = \frac{ 1 }{ \text{e}^{ x } }$ :

$\text{e}^{ - x } - 1 = \frac{ 1 }{ \text{e}^{ x } } - \frac{\text{e}^{ x } }{ \text{e}^{ x } } = \frac{1 - \text{e}^{ x } }{ \text{e}^{ x } }$

$\text{e}^{ - x } +1 = \frac{ 1 }{ \text{e}^{ x } } + \frac{\text{e}^{ x } }{ \text{e}^{ x } } = \frac{1 + \text{e}^{ x } }{ \text{e}^{ x } }$

$\frac{ \text{e}^{ - x } - 1 }{ \text{e}^{ - x } +1 } = \frac{1 - \text{e}^{ x } }{ \text{e}^{ x } } \times \frac{ \text{e}^{ x } }{1 + \text{e}^{ x }} = \frac{1 - \text{e}^{ x } }{1 + \text{e}^{ x }}$

Par conséquent :

$E = \frac{ \text{e}^{ x } - 1 }{ \text{e}^{ x } +1 }+\frac{ \text{e}^{ - x } - 1 }{ \text{e}^{ - x } +1 }$ $= \frac{ \text{e}^{ x } - 1 }{ \text{e}^{ x } +1 }+\frac{1 - \text{e}^{ x } }{1 + \text{e}^{ x }} =0.$

Énoncé Question suivante

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle6

Dans $\mathbb{R}$ , l'équation $\text{e}^{ 2x } + \text{e}^{ x } = 0$ admet une unique solution.

VRAI FAUX

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle6

Réponse Bilan

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle6

Explications Bilan

1^re - Propriétés algébriques de l'exponentielle6

C'est faux.

La fonction exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives donc $\text{e}^{ 2x } > 0$ et $\text{e}^{ x } > 0$

Par conséquent $\text{e}^{ 2x } + \text{e}^{ x } > 0$ et l'équation $\text{e}^{ 2x } + \text{e}^{ x } = 0$ n'a pas de solution sur $\mathbb{R}.$

Énoncé Bilan

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