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Seconde

moyenExercice corrigé

Equations et factorisation

Résoudre dans \mathbb{R} :

  1. x^{2}-2x+1=\left(x-1\right)\left(x+2\right)
  2. \left(x-2\right)\left(1-x^{2}\right)-\left(x-1\right)\left(x^{2}-4\right)=0
  3. \frac{x+1}{2x-5}-\frac{2x-5}{x+1}=0 (on cherchera d'abord sur quel ensemble l'équation est définie) 

Corrigé

  1. x^{2}-2x+1=\left(x-1\right)\left(x+2\right)
    \left(x-1\right)^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right) (identité remarquable)
    \left(x-1\right)^{2}-\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0
    \left(x-1\right)\left[\left(x-1\right)-\left(x+2\right)\right]=0 (factorisation de \left(x-1\right))
    -3\left(x-1\right)=0
    x-1=\frac{0}{-3}
    x-1=0
    x=1
    L'ensemble des solutions est S=\left\{1\right\}
  2. \left(x-2\right)\left(1-x^{2}\right)-\left(x-1\right)\left(x^{2}-4\right)=0
    \left(x-2\right)\left(1-x\right)\left(1+x\right)-\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0 (identités remarquables)
    Comme -\left(x-1\right)=1-x :
    \left(x-2\right)\left(1-x\right)\left(1+x\right)+\left(1-x\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0
    \left(x-2\right)\left(1-x\right)\left[\left(1+x\right)+\left(x+2\right)\right]=0 (factorisation de \left(x-2\right)\left(1-x\right))
    \left(x-2\right)\left(1-x\right)\left(2x+3\right)=0
    x-2=0 ou 1-x=0 ou 2x+3=0
    x=2 ou x=1 ou x=-\frac{3}{2}
    L'ensemble des solutions est S=\left\{-\frac{3}{2} ; 1 ; 2\right\}
  3. \frac{x+1}{2x-5}-\frac{2x-5}{x+1}=0
    L'équation est définie si 2x-5\neq 0 et x+1\neq 0 donc si x\neq \frac{5}{2} et x\neq -1
    On réduit ensuite au même dénominateur :
    \frac{\left(x+1\right)^{2}}{\left(2x-5\right)\left(x+1\right)}-\frac{\left(2x-5\right)^{2}}{\left(2x-5\right)\left(x+1\right)}=0
    \frac{\left(x+1\right)^{2}-\left(2x-5\right)^{2}}{\left(2x-5\right)\left(x+1\right)}=0
    Une fraction est nulle si et seulement son numérateur est nul :
    \left(x+1\right)^{2}-\left(2x-5\right)^{2}=0
    \left[\left(x+1\right)+\left(2x-5\right)\right]\left[\left(x+1\right)-\left(2x-5\right)\right]=0 (identité remarquable du type a^{2}-b^{2})
    \left(3x-4\right)\left(-x+6\right)=0
    3x-4=0 ou -x+6=0
    x=\frac{4}{3} ou x=6
    On vérifie bien que ces solutions ne correspondent pas à des valeurs "interdites". Donc, l'ensemble des solutions est S=\left\{\frac{4}{3} ; 6\right\}

 

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