Equations et factorisation

Corrigé

1. x^{2}-2x+1=\left(x-1\right)\left(x+2\right)
   \left(x-1\right)^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right) (identité remarquable)
   \left(x-1\right)^{2}-\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0
   \left(x-1\right)\left[\left(x-1\right)-\left(x+2\right)\right]=0 (factorisation de \left(x-1\right))
   -3\left(x-1\right)=0
   x-1=\frac{0}{-3}
   x-1=0
   x=1
   L'ensemble des solutions est S=\left\{1\right\}
2. \left(x-2\right)\left(1-x^{2}\right)-\left(x-1\right)\left(x^{2}-4\right)=0
   \left(x-2\right)\left(1-x\right)\left(1+x\right)-\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0 (identités remarquables)
   Comme -\left(x-1\right)=1-x :
   \left(x-2\right)\left(1-x\right)\left(1+x\right)+\left(1-x\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0
   \left(x-2\right)\left(1-x\right)\left[\left(1+x\right)+\left(x+2\right)\right]=0 (factorisation de \left(x-2\right)\left(1-x\right))
   \left(x-2\right)\left(1-x\right)\left(2x+3\right)=0
   x-2=0 ou 1-x=0 ou 2x+3=0
   x=2 ou x=1 ou x=-\frac{3}{2}
   L'ensemble des solutions est S=\left\{-\frac{3}{2} ; 1 ; 2\right\}
3. \frac{x+1}{2x-5}-\frac{2x-5}{x+1}=0
   L'équation est définie si 2x-5\neq 0 et x+1\neq 0 donc si x\neq \frac{5}{2} et x\neq -1
   On réduit ensuite au même dénominateur :
   \frac{\left(x+1\right)^{2}}{\left(2x-5\right)\left(x+1\right)}-\frac{\left(2x-5\right)^{2}}{\left(2x-5\right)\left(x+1\right)}=0
   \frac{\left(x+1\right)^{2}-\left(2x-5\right)^{2}}{\left(2x-5\right)\left(x+1\right)}=0
   Une fraction est nulle si et seulement son numérateur est nul :
   \left(x+1\right)^{2}-\left(2x-5\right)^{2}=0
   \left[\left(x+1\right)+\left(2x-5\right)\right]\left[\left(x+1\right)-\left(2x-5\right)\right]=0 (identité remarquable du type a^{2}-b^{2})
   \left(3x-4\right)\left(-x+6\right)=0
   3x-4=0 ou -x+6=0
   x=\frac{4}{3} ou x=6
   On vérifie bien que ces solutions ne correspondent pas à des valeurs "interdites". Donc, l'ensemble des solutions est S=\left\{\frac{4}{3} ; 6\right\}