Fonctions - Généralités
Exercices
Ensemble de définition – 2
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Déterminer l'ensemble de définition des fonctions ci-dessous :
- $ f\left(x\right)=\sqrt{\left(x+1\right)\left(3x+2\right)} $
- $ f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^{2}+1} $
- $ f\left(x\right)=\dfrac{x+1}{x^{2} - 4} $
Corrigé
$ f $ est définie si et seulement si $ \left(x+1\right)\left(3x+2\right)\geqslant 0 $
On dresse le tableau de signe :
L'ensemble de définition est :
$ \mathscr D_{f} = \left] - \infty ; - 1\right] \cup \left[ - \dfrac{2}{3} ; +\infty \right[ $
- $ f $ est définie si et seulement si $ x^{2}+1 \neq 0 $
Or $ x^{2} $ est un carré donc il est positif ou nul quel que soit $ x $.
Donc $ x^{2}+1 $ est toujours supérieur ou égal à $ 1 $ et ne peut jamais s'annuler.
Il n'y a donc pas de valeurs interdites.
$ \mathscr D_{f} =\mathbb{R} $ - $ f $ est définie si et seulement si $ x^{2} - 4 \neq 0 $
On reconnaît une identité remarquable : $ x^{2} - 4=\left(x - 2\right)\left(x+2\right) $.
Par conséquent, $ x^{2} - 4 \neq 0 $ si et seulement si $ x\neq - 2 $ et $ x\neq 2 $
$ \mathscr D_{f} =\mathbb{R}\backslash\left\{ - 2 ; 2\right\} $