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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Ensemble de définition - 2

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions ci-dessous :

  1. f(x)=(x+1)(3x+2)f\left(x\right)=\sqrt{\left(x+1\right)\left(3x+2\right)}

  2. f(x)=1x2+1f\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+1}

  3. f(x)=x+1x24f\left(x\right)=\frac{x+1}{x^{2} - 4}

Corrigé

  1. ff est définie si et seulement si (x+1)(3x+2)0\left(x+1\right)\left(3x+2\right)\geqslant 0

    On dresse le tableau de signe :

    Exemple tableau de signes d'un produit

    L'ensemble de définition est :

    Df=];1][23;+[\mathscr D_{f} = \left] - \infty ; - 1\right] \cup \left[ - \frac{2}{3} ; +\infty \right[

  2. ff est définie si et seulement si x2+10x^{2}+1 \neq 0

    Or x2x^{2} est un carré donc il est positif ou nul quel que soit xx.

    Donc x2+1x^{2}+1 est toujours supérieur ou égal à 11 et ne peut jamais s'annuler.

    Il n'y a donc pas de valeurs interdites.

    Df=R\mathscr D_{f} =\mathbb{R}

  3. ff est définie si et seulement si x240x^{2} - 4 \neq 0

    On reconnaît une identité remarquable : x24=(x2)(x+2)x^{2} - 4=\left(x - 2\right)\left(x+2\right).

    Par conséquent, x240x^{2} - 4 \neq 0 si et seulement si x2x\neq - 2 et x2x\neq 2

    Df=R\{2;2}\mathscr D_{f} =\mathbb{R}\backslash\left\{ - 2 ; 2\right\}