Calcul littéral : Somme de fractions

Pour chaque expression :

• on réduit les fractions au même dénominateur ;

• puis, on calcule la somme algébrique au numérateur.

Remarque : Il n’est pas nécessaire de développer les produits au dénominateur (mais ce n’est pas non plus une erreur de le faire…).
En effet, dans la plupart des cas, la forme factorisée est plus utile que la forme développée.

1. A=\dfrac{1}{x+1} -\dfrac{1}{x}

   L’expression est définie pour x \neq -1 et x \neq 0.

   Le dénominateur commun est x(x+1).

   A=\dfrac{\color{red}{x}\times 1}{\color{red}{x}(x+1)} -\dfrac{1\times \color{red}{(x+1)}}{x \color{red}{(x+1)}}
   A=\dfrac{x}{x(x+1)} -\dfrac{x+1}{x(x+1)}
   A=\dfrac{x-(x+1)}{x(x+1)}

   Attention à la parenthèse : le signe « – » est situé devant la fraction ; il s’applique donc à l’ensemble du numérateur.

   A=\dfrac{x-x-1}{x(x+1)}=\dfrac{-1}{x(x+1)}.

2. B=\dfrac{1+x}{1-x}+\dfrac{1-x}{1+x}

   B est définie pour x \neq -1 et x \neq 1.

   Le dénominateur commun est (1-x)(1+x).

   B=\dfrac{(1+x) \color{red}{(1+x)}}{(1-x)\color{red}{(1+x)}}+\dfrac{\color{red}{(1-x)}(1-x)}{\color{red}{(1-x)}(1+x)}
   B=\dfrac{(1+x)^2}{(1-x)(1+x)}+\dfrac{(1-x)^2}{(1-x)(1+x)}
   B=\dfrac{1+2x+x^2}{(1-x)(1+x)}+\dfrac{1-2x+x^2}{(1-x)(1+x)}
   B=\dfrac{1+2x+x^2+1-2x+x^2}{(1-x)(1+x)}
   B=\dfrac{2x^2+2}{(1-x)(1+x)}.

3. C=\dfrac{1}{x(x+1)}-\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}

   La fraction est définie si et seulement si x \neq -2 et x \neq -1 et x \neq 0.

   Un dénominateur commun est x(x+1)(x+2).
   Remarque : Prendre x(x+1)(x+1)(x+2) (c’est à dire x(x+1)^2(x+2)) comme dénominateur commun ne serait pas une faute mais mènerait à des calculs inutilement compliqués avec une fraction à simplifier à la fin.
   Essayez toujours de trouver un dénominateur commun aussi simple que possible !

   C=\dfrac{1\times \color{red}{(x+2)}}{x(x+1)\color{red}{(x+2)}} -\dfrac{\color{red}{x}\times 1}{\color{red}{x}(x+1)(x+2)}
   C=\dfrac{x+2}{x(x+1)(x+2)} -\dfrac{x}{x(x+1)(x+2)}
   C=\dfrac{x+2-x}{x(x+1)(x+2)}
   C=\dfrac{2}{x(x+1)(x+2)}