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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Calcul littéral : Somme de fractions

Écrire chacune des expressions suivantes sous forme d'une seule fraction :

  1. A=1x+11xA=\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x} \quad (pour x1x \neq - 1 et x0x \neq 0)

  2. B=1+x1x+1x1+xB=\dfrac{1+x}{1 - x}+\dfrac{1 - x}{1+x} \quad (pour x1x \neq - 1 et x1x \neq 1)

  3. C=1x(x+1)1(x+1)(x+2)C=\dfrac{1}{x(x+1)} - \dfrac{1}{(x+1)(x+2)} \quad (pour x2x \neq - 2 et x1x \neq - 1 et x0x \neq 0)

Corrigé

Pour chaque expression :

  • on réduit les fractions au même dénominateur ;

  • puis, on calcule la somme algébrique au numérateur.

Remarque : Il n'est pas nécessaire de développer les produits au dénominateur (mais ce n'est pas non plus une erreur de le faire...).

En effet, dans la plupart des cas, la forme factorisée est plus utile que la forme développée.

  1. A=1x+11xA=\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x}

    L'expression est définie pour x1x \neq - 1 et x0x \neq 0.

    Le dénominateur commun est x(x+1)x(x+1).

    A=x×1x(x+1)1×(x+1)x(x+1)A=\dfrac{\color{red}{x}\times 1}{\color{red}{x}(x+1)} - \dfrac{1\times \color{red}{(x+1)}}{x \color{red}{(x+1)}}

    A=xx(x+1)x+1x(x+1)A=\dfrac{x}{x(x+1)} - \dfrac{x+1}{x(x+1)}

    A=x(x+1)x(x+1)A=\dfrac{x - (x+1)}{x(x+1)}

    Attention à la parenthèse : le signe « - » est situé devant la fraction ; il s'applique donc à l'ensemble du numérateur.

    A=xx1x(x+1)=1x(x+1).A=\dfrac{x - x - 1}{x(x+1)}=\dfrac{ - 1}{x(x+1)}.

  2. B=1+x1x+1x1+xB=\dfrac{1+x}{1 - x}+\dfrac{1 - x}{1+x}

    B est définie pour x1x \neq - 1 et x1x \neq 1.

    Le dénominateur commun est (1x)(1+x)(1 - x)(1+x).

    B=(1+x)(1+x)(1x)(1+x)B=\dfrac{(1+x) \color{red}{(1+x)}}{(1 - x)\color{red}{(1+x)}}+(1x)(1x)(1x)(1+x)+\dfrac{\color{red}{(1 - x)}(1 - x)}{\color{red}{(1 - x)}(1+x)}

    B=(1+x)2(1x)(1+x)B=\dfrac{(1+x)^2}{(1 - x)(1+x)}+(1x)2(1x)(1+x)+\dfrac{(1 - x)^2}{(1 - x)(1+x)}

    B=1+2x+x2(1x)(1+x)B=\dfrac{1+2x+x^2}{(1 - x)(1+x)}+12x+x2(1x)(1+x)+\dfrac{1 - 2x+x^2}{(1 - x)(1+x)}

    B=1+2x+x2+12x+x2(1x)(1+x)B=\dfrac{1+2x+x^2+1 - 2x+x^2}{(1 - x)(1+x)}

    B=2x2+2(1x)(1+x).B=\dfrac{2x^2+2}{(1 - x)(1+x)}.

  3. C=1x(x+1)1(x+1)(x+2)C=\dfrac{1}{x(x+1)} - \dfrac{1}{(x+1)(x+2)}

    La fraction est définie si et seulement si x2x \neq - 2 et x1x \neq - 1 et x0x \neq 0.

    Un dénominateur commun est x(x+1)(x+2)x(x+1)(x+2).

    Remarque : Prendre x(x+1)(x+1)(x+2)x(x+1)(x+1)(x+2) (c'est à dire x(x+1)2(x+2)x(x+1)^2(x+2)) comme dénominateur commun ne serait pas une faute mais mènerait à des calculs inutilement compliqués avec une fraction à simplifier à la fin.

    Essayez toujours de trouver un dénominateur commun aussi simple que possible !

    C=1×(x+2)x(x+1)(x+2)C=\dfrac{1\times \color{red}{(x+2)}}{x(x+1)\color{red}{(x+2)}}x×1x(x+1)(x+2) - \dfrac{\color{red}{x}\times 1}{\color{red}{x}(x+1)(x+2)}

    C=x+2x(x+1)(x+2)C=\dfrac{x+2}{x(x+1)(x+2)}xx(x+1)(x+2) - \dfrac{x}{x(x+1)(x+2)}

    C=x+2xx(x+1)(x+2)C=\dfrac{x+2 - x}{x(x+1)(x+2)}

    C=2x(x+1)(x+2)C=\dfrac{2}{x(x+1)(x+2)}