Angles orientés dans un pentagone
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Remarque
Pour aller plus loin : cet exercice s'appuie sur les angles orientés de vecteurs et la relation de Chasles sur les angles, une notion approfondie en classe de Terminale. Il dépasse le cadre strict du programme de Première et peut être abordé en approfondissement.
$ ABCDE $ est un pentagone régulier direct inscrit dans le cercle de centre $ O $ (« direct » signifie que les points $ A,B,C,D,E $ suivent le sens trigonométrique).
Calculer les mesures principales en radians des angles $ \left(\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{OB}\right) $, $ \left(\overrightarrow{BO}, \overrightarrow{BA}\right) $ et $ \left(\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{AB}\right) $.
Démontrer que les droites $ (DO) $ et $ (EC) $ sont perpendiculaires.- Déduire des deux premières questions que $ \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA} $ d'une part et $ \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OE} $ d'autre part sont colinéaires à $ \overrightarrow{OD} $
Déduire du a. que le vecteur $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE} $ est colinéaire au vecteur $ \overrightarrow{OD} $
En suivant une démarche analogue, démontrer que les vecteurs $ \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} $, $ \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA} $ et $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE} $ sont colinéaires au vecteur $ \overrightarrow{OE} $.
Déduire des questions précédentes que : $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{0} $- Déduire des deux premières questions que $ \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA} $ d'une part et $ \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OE} $ d'autre part sont colinéaires à $ \overrightarrow{OD} $
Corrigé
Puisque $ ABCDE $ est un pentagone régulier, ses sommets partagent le cercle circonscrit en cinq arcs égaux. Les angles au centre qui interceptent ces arcs sont donc tous égaux à $ \dfrac{2\pi}{5} $. Ainsi :
On calcule de même facilement que l'angle que fait un rayon du cercle circonscrit passant par un sommet du pentagone avec un côté du pentagone adjacent à ce sommet est $ \dfrac{1}{2}\left(\pi - \dfrac{2\pi}{5}\right) = \dfrac{3\pi}{10} $.
Par exemple $ (\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BO}) = (\overrightarrow{BO},\overrightarrow{BA}) = \dfrac{3\pi}{10} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $.
On cherche des mesures principales d'angles, donc comprises entre $ -\pi $ et $ \pi $. On trouve $ (\overrightarrow{DO},\overrightarrow{OB}) = \dfrac{\pi}{5} $, $ (\overrightarrow{BO},\overrightarrow{BA}) = \dfrac{3\pi}{10} $ et $ (\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{AB}) = (\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{AB}) = (\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{BO}, \overrightarrow{BA}) = \dfrac{\pi}{5} + \dfrac{3\pi}{10} = \dfrac{\pi}{2} $.
Le triangle $ OEC $ étant isocèle en $ O $, $ O $ se trouve sur la médiatrice du segment $ [EC] $. Le triangle $ DEC $ étant isocèle en $ D $, $ D $ se trouve aussi sur la médiatrice du segment $ [EC] $. On en déduit que la droite $ (DO) $ est la médiatrice du segment $ [EC] $. Donc les droites $ (DO) $ et $ (EC) $ sont perpendiculaires.- On a démontré en 1. que la droite $ (DO) $ est perpendiculaire au segment $ [AB] $ et en 2. qu'elle est perpendiculaire au segment $ [EC] $. On en conclut que $ (EC) $ et $ (AB) $ sont parallèles. Soit $ M $ le milieu de $ [AB] $ et $ M' $ le milieu de $ [EC] $. Le triangle $ OAB $ est isocèle en $ O $, donc $ O $ est sur la médiatrice de $ [AB] $. $ O $ étant aussi sur la médiatrice $ (DO) $ de $ [EC] $, on en conclut que les points $ D, M', O $ et $ M $ sont alignés. Comme $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OM} $ et $ \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OE} = 2\overrightarrow{OM'} $, on en déduit que ces deux vecteurs sont colinéaires à $ \overrightarrow{OD} $.
Le vecteur $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OE}) + \overrightarrow{OD} $ étant la somme de trois vecteurs colinéaires à $ \overrightarrow{OD} $, il est lui-même colinéaire à $ \overrightarrow{OD} $.
On démontre de manière analogue que $ (EO) $ est la médiatrice de $ [AD] $ et $ [BC] $, et il en découle que les vecteurs $ \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} $, $ \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OA} $ et $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} $ sont colinéaires à $ \overrightarrow{OE} $.
Le fait que le vecteur $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} $ soit colinéaire à deux vecteurs non colinéaires, $ \overrightarrow{OD} $ et $ \overrightarrow{OE} $, implique que $\mathbf{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{0}}$.- On a démontré en 1. que la droite $ (DO) $ est perpendiculaire au segment $ [AB] $ et en 2. qu'elle est perpendiculaire au segment $ [EC] $. On en conclut que $ (EC) $ et $ (AB) $ sont parallèles. Soit $ M $ le milieu de $ [AB] $ et $ M' $ le milieu de $ [EC] $. Le triangle $ OAB $ est isocèle en $ O $, donc $ O $ est sur la médiatrice de $ [AB] $. $ O $ étant aussi sur la médiatrice $ (DO) $ de $ [EC] $, on en conclut que les points $ D, M', O $ et $ M $ sont alignés. Comme $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OM} $ et $ \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OE} = 2\overrightarrow{OM'} $, on en déduit que ces deux vecteurs sont colinéaires à $ \overrightarrow{OD} $.