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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions - Généralités

1. Notion de fonction

Définition

Une fonction ff est un procédé qui à tout nombre réel xx d'une partie DD de R\mathbb{R} associe un seul nombre réel yy.

  • xx s'appelle la variable.

  • yy s'appelle l'image de xx par la fonction ff et se note f(x)f\left(x\right)

  • ff est la fonction et se note: f:x↦y=f(x)f : x \mapsto y=f\left(x\right).

Remarque

Les procédés permettant d'associer un nombre à un autre nombre peuvent être :

  • des formules mathématiques (par exemple : f(x)=11+x2f\left(x\right)=\frac{1}{1+x^2})

  • une courbe (par exemple : la courbe donnant le cours d'une action en Bourse en fonction du temps)

  • un instrument de mesure ou de conversion (par exemple : le compteur d'un taxi qui donne le prix à payer en fonction du trajet parcouru)

  • un tableau de valeurs, chaque élément de la seconde ligne étant associé à un élément de la première ligne

  • une touche de calculatrice (par exemple: sin, cos, ln, log, etc.) qui affiche un résultat dépendant du nombre saisi auparavant

  • etc.

Méthode (Calcul d'une image)

Pour calculer l'image d'un nombre par une fonction définie par une formule on remplace xx par ce nombre dans l'expression de f(x)f\left(x\right)

Exemple

Soit la fonction ff définie par f(x)=x2+3x+1f\left(x\right)=\frac{x^2+3}{x+1}

  • Pour calculer l'image de 11 - notée f(1)f\left(1\right) - on remplace xx par 11 dans la formule donnant f(x)f\left(x\right). On obtient alors :

    f(1)=12+31+1=42=2f\left(1\right)=\frac{1^2+3}{1+1}=\frac{4}{2}=2

  • Pour calculer l'image de −2 - 2, on remplace xx par (−2)\left( - 2\right) dans cette même formule. Pensez bien à ajouter une parenthèse lorsque xx est négatif ou lorsqu'il s'agit d'une expression fractionnaire. On obtient :

    f(−2)=(−2)2+3(−2)+1=7−1=−7f\left( - 2\right)=\frac{\left( - 2\right)^2+3}{\left( - 2\right)+1}=\frac{7}{ - 1}= - 7

Définition

L'ensemble D\mathscr D des éléments xx de R\mathbb{R} qui possèdent une image par ff s'appelle l'ensemble de définition de ff.

On dit également que ff est définie sur D\mathscr D

Remarque

Certaines fonctions sont définies sur R\mathbb{R} en entier. Parfois, cependant, l'ensemble de définition est plus petit. C'est en particulier le cas:

  • s'il est impossible de calculer f(x)f\left(x\right) pour certaines valeurs de xx (par exemple la fonction f:x↦1xf : x \mapsto \frac{1}{x} n'est pas définie pour x=0x=0 car il est impossible de diviser par zéro

  • si la fonction n'a aucune signification pour certaines valeurs de xx; par exemple la fonction donnant l'aire d'un carré en fonction de la longueur xx de ses côtés n'a pas de sens pour xx négatif.

Définition

Soit yy un nombre réel. Les antécédents de yy par ff sont les nombres réels xx appartenant à D\mathscr D tels que f(x)=yf\left(x\right)=y. Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédent(s).

Méthode (Calcul des antécédents)

Pour déterminer les antécédents d'un nombre yy, on résout l'équation f(x)=yf\left(x\right)=y d'inconnue xx.

Exemple

Soit la fonction ff définie par f(x)=x+5x+1f\left(x\right)=\frac{x+5}{x+1}

Pour déterminer le ou les antécédents du nombre 22 on résout l'équation f(x)=2f\left(x\right)=2 c'est à dire :

x+5x+1=2\frac{x+5}{x+1}=2

On obtient alors :

x+5=2(x+1)x+5=2\left(x+1\right) (« produit en croix »)

x+5=2x+2x+5=2x+2

x−2x=2−5x - 2x=2 - 5

−x=−3 - x= - 3

x=3x=3

Le nombre 22 possède un unique antécédent qui est x=3x=3.

2. Représentation graphique

Dans cette section, on munit le plan P\mathscr P d'un repère orthogonal (O,i,j)\left(O, i, j\right)

Définition

Soit ff une fonction définie sur un ensemble D\mathscr D.

La représentation graphique de ff est la courbe Cf\mathscr C_f formée des points M(x;y)M\left(x;y\right) où x∈Dx\in \mathscr D et y=f(x)y=f\left(x\right)

On dit aussi que la courbe Cf\mathscr C_f a pour équation y=f(x)y=f\left(x\right).

Exemple

représentation graphique d'une fonction

Exemple de représentation graphique d'une fonction définie sur [-1;1]

Remarque

Du fait qu'un nombre ne peut pas avoir plusieurs images, la courbe représentative d'une fonction ne peut pas contenir plusieurs points situés sur la même "verticale" (droite parallèle à l'axe des ordonnées).

Par contre, il peut très bien y avoir plusieurs points situés sur une même horizontale comme dans l'exemple ci-dessus.

Lecture graphique de l'image d'un nombre

Lecture graphique d'une image

Pour déterminer graphiquement l'image de 0,50,5 par la fonction ff :

  • on place le point de d'abscisse 0,50,5 sur l'axe des abscisses

  • on le relie au point MM de la courbe qui a la même abscisse

  • l'ordonnée du point MM nous donne la valeur de f(0,5)f\left(0,5\right); on trouve ici environ 0,60,6.

Lecture graphique des antécédents d'un nombre

Lecture graphique d'antécédents

Pour déterminer graphiquement les antécédents de 0,90,9 par la fonction ff :

  • on place le point de d'ordonnée 0,90,9 sur l'axe des ordonnées

  • on trace la droite horizontale (d'équation y=0,9y=0,9) qui passe par ce point

  • on trace le(s) point(s) d'intersection de cette droite avec la courbe. Dans cet exemple on en trouve deux ; dans d'autres exemples on pourrait en trouver zéro, un, deux ou plus...

  • les abscisses de ces points d'intersection nous donne les antécédents de 0,90,9; on trouve ici deux antécédents qui valent environ 0,10,1 et 0,950,95.

3. Variations d'une fonction

Définition

La fonction ff est croissante sur l'intervalle II si pour tous réels x1x_1 et x2x_2 appartenant à II tels que x1⩽x2x_1\leqslant x_2 on a f(x1)⩽f(x2)f\left(x_1\right)\leqslant f\left(x_2\right).

Remarque

Intuitivement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative de la fonction ff "monte" lorsqu'on la parcourt dans le sens de l'axe des abscisses (e.g. de gauche à droite)

fonction croissante

Définition

La fonction ff est décroissante sur l'intervalle II si pour tous réels x1x_1 et x2x_2 appartenant à II tels que x1⩽x2x_1 \leqslant x_2 on a f(x1)⩾f(x2)f\left(x_1\right) \geqslant f\left(x_2\right).

Remarque

Intuitivement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative de la fonction ff "descend" lorsqu'on la parcourt dans le sens de l'axe des abscisses (e.g. de gauche à droite)

fonction décroissante

Définition

Soit II un intervalle et x0∈Ix_0 \in I.

La fonction ff admet un maximum en x0x_0 sur l'intervalle II si pour tout réel xx de I, f(x)⩽f(x0)f\left(x\right)\leqslant f\left(x_0\right). Le maximum de la fonction ff sur II est alors M=f(x0)M=f\left(x_0\right)

maximum d'une fonction

Définition

Soit II un intervalle et x0∈Ix_0 \in I.

La fonction ff admet un minimum en x0x_0 sur l'intervalle II si pour tout réel xx de I, f(x)⩾f(x0)f\left(x\right)\geqslant f\left(x_0\right). Le minimum de la fonction ff sur II est alors m=f(x0)m=f\left(x_0\right)

maximum d'une fonction

Remarques

  • Un extremum est un maximum ou un minimum

  • Attention à la rédaction : Lorsqu'on dit que ff admet un maximum (resp. minimum) en x0x_0 (ou pour x=x0x=x_0), x0x_0 correspond à la valeur de la variable xx et non à la valeur du maximum (resp. minimum).

    Par exemple, dans le tableau de l'exemple ci-dessous, ff admet un maximum en 00. Ce maximum est égal à 6 (Ne pas écrire que le maximum est 00 !).

  • Les variations d'une fonction peuvent être représentées par un tableau de variations

Exemple

Soit ff une fonction définie sur [−2;5]\left[ - 2;5\right], croissante sur [−2;0]\left[ - 2;0\right] et décroissante sur [0;5]\left[0; 5\right] avec f(−2)=−3f\left( - 2\right)= - 3, f(0)=6f\left(0\right)=6 et f(5)=1f\left(5\right)=1

Le tableau de variations de la fonction ff est :

Dans ce chapitre :

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