Equations et inéquations
I. Equations
Théorème
Si l'on ajoute ou si l'on soustrait un même nombre à chaque membre d'une équation, on obtient une équation équivalente (c'est à dire qui possède les mêmes solutions).
Si l'on multiplie ou si l'on divise chaque membre d'une équation par un même nombre non nul, on obtient une équation équivalente.
Remarque
Pour résoudre une équation du type on soustrait à chaque membre de l'égalité:
c'est à dire .
Puis:
si est non nul on divise chaque membre par : soit donc
si :
si l'équation se réduit à . Elle est toujours vérifiée donc
si l'équation se réduit à . Elle n'est jamais vérifiée donc
Théorème (Équation produit)
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul.
En particulier, une équation du type est vérifiée si et seulement si :
ou
Exemple
Soit l'équation
Cette équation est équivalente à ou .
C'est à dire ou .
L'ensemble des solutions de l'équation est donc
Remarques
Lorsqu'on a affaire à une équation du second degré (ou plus), on fait "passer" tous les termes dans le membre de gauche que l'on essaie de factoriser et on utilise le théorème précédent.
On rappelle les identités remarquables qui peuvent être utiles dans ce genre de situations:
Théorème
Un quotient est défini si et seulement si son dénominateur est non nul.
S'il est défini, un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.
Exemple
Soit l'équation
Cette équation a un sens si donc si
Sur l'ensemble cette équation est équivalente à donc à . L'ensemble des solutions de l'équation est donc
Propriété
Soit une fonction définie sur de courbe représentative .
Les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite horizontale d'équation
Exemple
Sur la figure ci-dessus, l'équation possède deux solutions qui sont -1 et 3
Théorème
L'équation :
admet deux solutions ou si
admet une unique solution si
n'admet aucune solution réelle si
Exemple
L'équation admet deux solutions qui sont et
L'équation est équivalente à et n'admet donc aucune solution
II. Inéquations
Théorème
Si l'on ajoute ou si l'on soustrait un même nombre à chaque membre d'une inéquation, on obtient une inéquation équivalente (c'est à dire qui à les mêmes solutions).
Si l'on multiplie ou si l'on divise chaque membre d'une inéquation par un même nombre strictement positif, on obtient une inéquation équivalente.
Si l'on multiplie ou si l'on divise chaque membre d'une inéquation par un même nombre strictement négatif, on obtient une inéquation équivalente en changeant le sens de l'inégalité.
Exemple
Pour résoudre l'inéquation on soustrait 5 à chaque membre de l'inéquation:
c'est à dire .
Puis comme -3 est négatif on divise chaque membre par -3 en changeant le sens de l'inégalité :
Donc
Remarques
En appliquant le théorème précédent à l'expression on obtient :
si est strictement positif
et si est strictement négatif.
On peut alors regrouper ces deux cas dans le tableau de signe suivant :
Théorème (Inéquation produit)
Un produit de facteurs est positif ou nul si et seulement si les deux facteurs et sont de même signe.
Ce produit est négatif ou nul si et seulement si les deux facteurs et sont de signes contraires.
Remarques
Lorsqu'on a affaire à une inéquation du second degré (ou plus), on fait "passer" tous les termes dans le membre de gauche que l'on essaie de factoriser puis on utilise un tableau de signe.
Exemple
Soit l'inéquation
Le signe de est donné par le tableau:
Le signe de est donné par le tableau:
On regroupe ces résultats dans un unique tableau et on utilise la règle des signes pour obtenir le signe du produit:
est positif ou nul sur l'intervalle
Pour plus de détails et d'autres exemples, consulter la fiche méthode : Dresser un tableau de signes
Théorème (Inéquation quotient)
Un quotient est défini si et seulement si son dénominateur est non nul.
S'il est défini, il est positif ou nul si et seulement si et sont de même signe et il est négatif ou nul si et seulement si les deux facteurs et sont de signes contraires.
Exemple
Soit l'inéquation
Cette inéquation a un sens si donc si
Le tableau de signe de est :
est positif ou nul sur l'ensemble
Propriété
Soit une fonction définie sur de courbe représentative et un nombre réel.
Les solutions de l'inéquation sont les abscisses des points de la courbe situés au dessous de la droite horizontale d'équation (On inclut les points d'intersection si l'inégalité est large, on les exclut si l'inégalité est stricte.)
De même, les solutions de l'inéquation sont les abscisses des points de la courbe situés au dessus de droite horizontale d'équation
Exemple
Sur la figure ci-dessus, l'inéquation a pour solution l'intervalle