Il est présenté ici à titre de complément.
Définition
Une transformation est une bijection f du plan dans lui-même. Cela signifie que:
- tout point M du plan possède une et une seule image M’ par f
- tout point M’ du plan possède un et un seul antécédent M par f
Définition
La transformation réciproque d’une tranformation f est la transformation f^{-1} qui à tout point du plan associe son unique antécédent par f.
Définition
Soit k un réel strictement positif. Une similitude plane de rapport k est une transformation telle que pour tous points M et N du plan d’images respectives M^{\prime} et N^{\prime} : M^{\prime}N^{\prime}=k\times MN.
Exemples
- Les translations, symétries centrales et axiales et les rotations sont des similitudes de rapport 1.
- Les homothéties de rapport k sont des similitudes de rapport |k|.
Propriétés
- La composée de deux similitudes de rapports k et k^{\prime} , est une similitude de rapport k\times k^{\prime}
- La réciproque d’une similitude de rapport k est une similitude de rapport \frac{1}{k}
Remarque
La composition des similitudes n’est pas commutative; c’est à dire que si s et s^{\prime} sont deux similitudes, les similitudes s \circ s^{\prime} et s^{\prime} \circ s ne sont, en général, pas égales.
Propriétés
Une similitude de rapport k transforme :
- une droite en une droite
- un segment de longueur l en un segment de longueur kl
- un cercle de rayon R en un cercle de rayon kR
- un angle géométrique en un angle géométrique de même mesure
- un triangle en un triangle semblable
Remarque
Une isométrie est une transformation du plan qui conserve les distances : c’est donc une similitude de rapport 1.
Les translations, les symétries axiales et centrales et les rotations sont des exemples d’isométries.
Définition
On dit qu’une similitude est directe si elle conserve les angles orientés, c’est à dire si, pour tous points distincts A,B,C d’images A’, B’, C’ :
\left(\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}},\overrightarrow{A^{\prime}C^{\prime}}\right)=\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)\ \left(2\pi \right) .
Une similitude qui n’est pas directe est dite indirecte. Une similitude indirecte transforme un angle orienté en son opposé.
Exemples
- Les translations, homothéties, rotations sont des similitudes directes
- Les symétries axiales sont des similitudes indirectes.
Théorème
Les similitudes directes du plan sont les transformations qui a un point M d’affixe z associe un point M’ d’affixe z^{\prime} défini par z^{\prime}=az+b, où a et b sont deux nombres complexes avec a\neq 0.
Propriété
Le rapport d’une similitude directe d’expression complexe z^{\prime}=az+b est le réel r=|a|
Théorème et définition
Soit s une similitude directe qui transforme deux points distincts A et B en A’ et B’.
La mesure de l’angle \left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}\right) ne dépend pas des points A et B. On l’appelle angle de la similitude s.
Propriété
L’angle d’une similitude directe d’expression complexe z^{\prime}=az+b est \theta =\arg\left(a\right)\ \left(2\pi \right)
Théorème et définition
Une similitude directe qui n’est pas une translation admet un unique point fixe. Ce point est appelé le centre de la similitude.
