Calculer une intégrale
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Pour calculer une intégrale $ \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx $ d'une fonction continue $ f $ sur $ [a;b] $ :
- Étape 1 : si nécessaire, simplifier ou décomposer l'intégrande en utilisant la linéarité : $ \displaystyle\int_{a}^{b}\left(\lambda f + \mu g\right)dx = \lambda\!\int_{a}^{b}f\,dx + \mu\!\int_{a}^{b}g\,dx $.
- Étape 2 : déterminer une primitive $ F $ de $ f $ sur $ [a;b] $ (formules usuelles ou formes composées).
- Étape 3 : appliquer la formule $ \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_{a}^{b} = F(b) - F(a) $.
- Étape 4 : calculer $ F(b) $, puis $ F(a) $, puis effectuer la soustraction.
- Étape 5 : si la fonction change de définition selon les valeurs de $ x $ (fonction définie par morceaux ou changement de signe à isoler), utiliser la relation de Chasles : $ \displaystyle\int_{a}^{b}f\,dx = \int_{a}^{c}f\,dx + \int_{c}^{b}f\,dx $.
Remarque
Le choix de la primitive est libre : deux primitives diffèrent d'une constante $ k $, qui disparaît dans la soustraction $ F(b) - F(a) $. On choisit donc la primitive la plus simple (sans ajouter de $ +k $).
Calcul direct avec une primitive usuelle
Calculer $ \displaystyle\int_{1}^{2}\left(3x^{2} - 2x + 4\right)dx $.
Étape 1 : par linéarité, on cherche directement une primitive de la fonction polynôme.
Étape 2 : une primitive est :
Étape 3 : on applique la formule :
Étape 4 :
$ F(2) = 8 - 4 + 8 = 12 $
$ F(1) = 1 - 1 + 4 = 4 $
Calcul avec une primitive composée
Calculer $ \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x}{x^{2}+1}\,dx $.
Étape 1 : on remarque que $ \dfrac{x}{x^{2}+1} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2x}{x^{2}+1} $ ; on a donc une forme $ \dfrac{1}{2} \times \dfrac{u^{\prime}}{u} $ avec $ u(x) = x^{2}+1 $.
Étape 2 : $ u(x) > 0 $ sur $ \mathbb{R} $, donc une primitive est :
Étape 3 :
Étape 4 :
$ F(1) = \dfrac{1}{2}\ln(2) $
$ F(0) = \dfrac{1}{2}\ln(1) = 0 $
Découpage par la relation de Chasles
Soit $ f $ la fonction définie sur $ [0;3] $ par :
$ f(x) = 2x $ si $ 0 \leqslant x \leqslant 1 $
$ f(x) = 3 - x $ si $ 1 < x \leqslant 3 $
Calculer $ \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,dx $.
Étape 1 : $ f $ change de définition en $ x=1 $.
Étape 2 : on applique la relation de Chasles avec $ c=1 $ :
Étape 3 : calcul de chaque intégrale.
Étape 4 : on additionne :
Remarque
Si les bornes sont inversées, on a $ \displaystyle\int_{b}^{a} f(x)\,dx = -\int_{a}^{b} f(x)\,dx $. Cette relation découle directement de la définition $ F(b)-F(a) $.
Attention
Erreurs fréquentes :
- Oublier les crochets $ \left[F(x)\right]_{a}^{b} $ ou ne pas écrire la soustraction $ F(b) - F(a) $.
- Inverser l'ordre des bornes : c'est bien $ F(b) - F(a) $ et non $ F(a) - F(b) $.
- Faire une erreur de signe dans $ F(a) $, surtout quand $ a $ est négatif.
- Vouloir « factoriser » à l'intérieur de l'intégrale par une fonction de $ x $ : seule la linéarité (constante en facteur) est autorisée.