QCM : Valeur moyenne et encadrement d’intégrales
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Ce QCM porte sur la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle et l'encadrement d'une intégrale à partir d'un encadrement de la fonction. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$. Comment se calcule la valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ ?
- (Incorrect) $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$
- (Incorrect) $(b - a)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$
- (Correct) $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$
- (Incorrect) $\dfrac{f(a) + f(b)}{2}$
Question 2 : Quelle est la valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x$ sur l'intervalle $[0\,;\,4]$ ?
- (Incorrect) $2$
- (Incorrect) $8$
- (Incorrect) $16$
- (Correct) $4$
Question 3 : Soit $f$ continue sur $[1\,;\,3]$ avec $2 \leqslant f(x) \leqslant 5$ pour tout $x \in [1\,;\,3]$. Comment encadrer $\displaystyle\int_{1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
- (Incorrect) $2 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant 5$
- (Correct) $4 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant 10$
- (Incorrect) $2 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant 10$
- (Incorrect) $1 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} f \leqslant \dfrac{5}{2}$
Question 4 : La valeur moyenne d'une fonction $f$ sur $[0\,;\,5]$ est égale à $7$. Que vaut $\displaystyle\int_{0}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
- (Incorrect) $7$
- (Correct) $35$
- (Incorrect) $\dfrac{7}{5}$
- (Incorrect) $12$
Question 5 : Soit $f$ continue sur $[0\,;\,2]$ avec $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ pour tout $x \in [0\,;\,2]$. Que peut-on dire de la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur $[0\,;\,2]$ ?
- (Incorrect) $\mu = 0{,}5$
- (Correct) $0 \leqslant \mu \leqslant 1$
- (Incorrect) $0 \leqslant \mu \leqslant 2$
- (Incorrect) $\mu \geqslant 1$
Question 6 : $f$ est continue sur $[0\,;\,4]$ et vérifie $0 \leqslant f(x) \leqslant x^2$ pour tout $x \in [0\,;\,4]$. Quelle est la meilleure majoration de $\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$ qu'on peut donner ?
- (Incorrect) $\displaystyle\int_{0}^{4} f \leqslant 16$
- (Correct) $\displaystyle\int_{0}^{4} f \leqslant \dfrac{64}{3}$
- (Incorrect) $\displaystyle\int_{0}^{4} f \leqslant 4$
- (Incorrect) On ne peut pas majorer car $f$ est inconnue