QCM : Intégrale et aire sous une courbe
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Ce QCM porte sur l'interprétation graphique de l'intégrale : aire sous une courbe positive, aire algébrique, aire entre deux courbes. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Soit $f$ continue et positive sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$. Que représente $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
- (Correct) L'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$
- (Incorrect) La longueur de la courbe de $f$ entre $a$ et $b$
- (Incorrect) La pente moyenne de $f$ entre $a$ et $b$
- (Incorrect) La valeur de $f$ au milieu de $[a\,;\,b]$
Question 2 : Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^2$. Quelle est la valeur de $\displaystyle\int_{-1}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
- (Incorrect) $\dfrac{7}{3}$ (positif)
- (Incorrect) $3$ (positif)
- (Correct) $-3$ (négatif)
- (Incorrect) $0$
Question 3 : Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x$. On veut calculer l'aire (géométrique) du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = -2$ et $x = 2$. Quelle expression convient ?
- (Incorrect) $\displaystyle\int_{-2}^{2} x\,\mathrm{d}x$
- (Correct) $\displaystyle\int_{-2}^{0} (-x)\,\mathrm{d}x + \displaystyle\int_{0}^{2} x\,\mathrm{d}x$
- (Incorrect) $\displaystyle\int_{0}^{2} 2x\,\mathrm{d}x$
- (Incorrect) $\displaystyle\int_{-2}^{2} |x| \,\mathrm{d}x$ uniquement, le résultat est négatif
Question 4 : La courbe de $f$ et la courbe de $g$ sont représentées sur $[a\,;\,b]$, et on a $g(x) \leqslant f(x)$ pour tout $x$ de $[a\,;\,b]$. Quelle est l'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre les deux courbes sur $[a\,;\,b]$ ?
- (Incorrect) $\displaystyle\int_{a}^{b} g(x) - f(x) \,\mathrm{d}x$
- (Incorrect) $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) + g(x) \,\mathrm{d}x$
- (Correct) $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) - g(x) \,\mathrm{d}x$
- (Incorrect) $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \times g(x) \,\mathrm{d}x$
Question 5 : Soit $f$ continue sur $[-2\,;\,3]$ avec $f(x) \geqslant 0$ sur $[-2\,;\,0]$ et $f(x) \leqslant 0$ sur $[0\,;\,3]$. On note $\mathcal{A}_1$ et $\mathcal{A}_2$ les aires respectives des deux domaines (chacune positive). Que vaut $\displaystyle\int_{-2}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
- (Incorrect) $\mathcal{A}_1 + \mathcal{A}_2$
- (Correct) $\mathcal{A}_1 - \mathcal{A}_2$
- (Incorrect) $\mathcal{A}_2 - \mathcal{A}_1$
- (Incorrect) $|\mathcal{A}_1 - \mathcal{A}_2|$
Question 6 : On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;\,3]$ par $f(x) = x - 1$. Quelle est l'aire géométrique (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 3$ ?
- (Incorrect) $\displaystyle\int_{0}^{3}(x - 1)\,\mathrm{d}x = \dfrac{3}{2}$
- (Incorrect) $\dfrac{3}{2}$
- (Correct) $\dfrac{5}{2}$
- (Incorrect) $3$