Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Connexion Inscription
Primitives et intégrales Exercices

Distance parcourue et vitesse moyenne d’un coureur

Durée estimée
10 minutes
Difficulté
Votre progression

Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.

Créer un compte

Objectifs travaillés

Un coureur effectue un sprint d'entraînement de 6 secondes. Sa vitesse instantanée, exprimée en mètres par seconde, est modélisée par la fonction $ v $ définie sur $ [0\,;6] $ par :

$ v(t) = 4t - 0{,}5\,t^2 $

où $ t $ désigne le temps écoulé depuis le départ, en secondes.

On admet que la distance parcourue (en mètres) entre les instants $ t = a $ et $ t = b $ est égale à $ \displaystyle\int_{a}^{b} v(t)\,dt $.

  1. Vérifier que $ v(t) \geqslant 0 $ pour tout $ t \in [0\,;6] $.
  2. Déterminer l'instant $ t_0 $ pour lequel la vitesse du coureur est maximale, ainsi que la valeur de cette vitesse maximale.
  3. Calculer la distance totale parcourue par le coureur pendant les 6 secondes du sprint.
  4. En déduire la vitesse moyenne du coureur sur $ [0\,;6] $, exprimée en m/s puis en km/h.

Corrigé

  1. On factorise :

    $ v(t) = 4t - 0{,}5\,t^2 = 0{,}5\,t\,(8 - t) $

    Pour $ t \in [0\,;6] $, on a $ t \geqslant 0 $ et $ 8 - t \geqslant 2 > 0 $, donc le produit est positif. Ainsi $ v(t) \geqslant 0 $ sur $ [0\,;6] $.

  2. La fonction $ v $ est dérivable sur $ [0\,;6] $ et $ v^{\prime}(t) = 4 - t $.
    $ v^{\prime}(t) = 0 $ pour $ t = 4 $, $ v^{\prime}(t) > 0 $ sur $ [0\,;4[ $ et $ v^{\prime}(t) < 0 $ sur $ ]4\,;6] $.
    La vitesse est donc maximale en $ t_0 = 4 $ s, et :

    $ v(4) = 4 \times 4 - 0{,}5 \times 16 = 16 - 8 = 8 $

    La vitesse maximale est $ 8 $ m/s, atteinte au bout de $ 4 $ secondes.

  3. La distance parcourue entre $ t = 0 $ et $ t = 6 $ est :

    $ d = \displaystyle\int_{0}^{6} v(t)\,dt = \displaystyle\int_{0}^{6} (4t - 0{,}5\,t^2)\,dt $

    Une primitive de $ v $ sur $ [0\,;6] $ est $ V(t) = 2t^2 - \dfrac{t^3}{6} $. Donc :

    $ d = \left[2t^2 - \dfrac{t^3}{6}\right]_{0}^{6} = \left(2 \times 36 - \dfrac{216}{6}\right) - 0 = 72 - 36 $

    Le coureur parcourt $ 36 $ m pendant les 6 secondes.

  4. La vitesse moyenne sur $ [0\,;6] $ est, par définition :

    $ \mu = \dfrac{1}{6 - 0}\displaystyle\int_{0}^{6} v(t)\,dt = \dfrac{36}{6} = 6 $

    La vitesse moyenne est $ 6 $ m/s. Comme $ 1 $ m/s $ = 3{,}6 $ km/h, on obtient :

    $ 6 \times 3{,}6 = 21{,}6 $

    Soit $ 21{,}6 $ km/h.

→ Pour réviser : Calculer la valeur moyenne d'une fonction