Vrai/Faux : Intégrale et aire

Soit $f$ continue et positive sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$.

Affirmation : L'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$ vaut $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^2 - 1$.

Affirmation : L'aire (géométrique) du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 2$ vaut $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$.

Affirmation : L'intégrale d'une fonction continue sur $[a\,;\,b]$ correspond toujours à l'aire géométrique du domaine sous la courbe.

On considère deux fonctions $f$ et $g$ continues sur $[0\,;\,1]$ telles que $f(x) \geqslant g(x) \geqslant 0$ sur cet intervalle.

Affirmation : L'aire (en u.a.) du domaine compris entre les courbes de $f$ et $g$ sur $[0\,;\,1]$ vaut $\displaystyle\int_{0}^{1}(f(x) - g(x))\,\mathrm{d}x$.

Soit $f$ une fonction impaire continue sur $\mathbb{R}$ (c'est-à-dire $f(-x) = -f(x)$).

Affirmation : $\displaystyle\int_{-3}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$.

Soit $f$ continue sur $[0\,;\,4]$ avec $f(x) \geqslant 0$ sur $[0\,;\,2]$ et $f(x) \leqslant 0$ sur $[2\,;\,4]$. On note $\mathcal{A}_+$ et $\mathcal{A}_-$ les aires (positives) des deux domaines.

Affirmation : L'aire géométrique totale (aire absolue du domaine entre la courbe et l'axe) vaut $\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$.