Primitives et intégrales
Exercices
Calculer des intégrales simples
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Calculer les intégrales suivantes.
- $ A = \displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 + 1)\,dx $
- $ B = \displaystyle\int_{1}^{e} \dfrac{1}{x}\,dx $
- $ C = \displaystyle\int_{0}^{1} e^x\,dx $
- $ D = \displaystyle\int_{1}^{4} \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx $
Corrigé
Pour chaque intégrale, on cherche une primitive de l'intégrande puis on applique la formule $ \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a) $.
Une primitive de $ x \mapsto 3x^2 + 1 $ sur $ \mathbb{R} $ est $ F(x) = x^3 + x $.
$ A = \left[x^3 + x\right]_{0}^{2} = (2^3 + 2) - (0 + 0) = 10 $soit $\mathbf{A = 10}$.
Une primitive de $ x \mapsto \dfrac{1}{x} $ sur $ ]0\,;+\infty[ $ est $ F(x) = \ln(x) $.
$ B = \left[\ln(x)\right]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 $soit $\mathbf{B = 1}$.
La fonction exponentielle est sa propre primitive.
$ C = \left[e^x\right]_{0}^{1} = e^1 - e^0 $soit $\mathbf{C = e - 1}$.
Une primitive de $ x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}} $ sur $ ]0\,;+\infty[ $ est $ F(x) = 2\sqrt{x} $.
$ D = \left[2\sqrt{x}\right]_{1}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 4 - 2 $soit $\mathbf{D = 2}$.