Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Fonctions et intégrales - Bac blanc ES/L Sujet 4 - Maths-cours 2018

Exercice 3 (5 points)

On considère la fonction ff définie sur l'intervalle [0,5 ; 10][0,5~;~10] par :

f(x)=x22lnx. f(x)=x - 2 - 2\ln x.

ln\ln désigne la fonction logarithme népérien.

On note Cf\mathscr{C}_f la courbe représentative de ff dans un repère orthonormé. Cette courbe est tracée ci-après :

fonction à base de logarithme népérien

  1. Montrer que pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [0,5 ; 10][0,5~;~10] :

    f(x)=x2x. f^{\prime}(x) =\dfrac{x - 2}{x}.

  2. Dresser le tableau de variations de ff sur l'intervalle [0,5 ; 10][0,5~;~10].

  3. Déterminer l'équation réduite de la tangente TT à la courbe Cf\mathscr{C}_f au point A(1 ; 1)A(1~;~ - 1).

  4. Étudiez la convexité de ff sur l'intervalle [0,5 ; 10][0,5~;~10].

  5. Montrer que l'équation f(x)=0f(x)=0 admet une et une seule solution α\alpha sur l'intervalle [0,5 ; 10][0,5~;~10].

    Donner un encadrement de α\alpha d'amplitude 10210^{ - 2}.

  6. Montrer que la fonction FF définie par :

    F(x)=x222xlnx F(x)=\dfrac{x^2}{2} - 2x\ln x

    est une primitive de la fonction ff sur l'intervalle [0,5 ; 10][0,5~;~10].

  7. Donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 10210^{ - 2}, de l'intégrale :

    I=610f(t)dt. I=\displaystyle\int_{6}^{10} f(t)dt.

    Interpréter graphiquement la valeur de cette intégrale.

Corrigé

  1. Sur l'intervalle [0,5 ; 10][0,5~;~10], la fonction ff est dérivable comme somme de fonctions dérivables et :

    f(x)=12×1x=xx2x=x2xf^{\prime}(x)=1 - 2 \times \dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x} - \dfrac{2}{x}=\dfrac{x - 2}{x}.

    À retenir

    La fonction logarithme népérien est définie et dérivable sur l'intervalle ]0 ; +[]0~;~+\infty[ et a pour dérivée la fonction x1xx \longmapsto \dfrac{1}{x}.

  2. xx est strictement positif sur l'intervalle [0,5 ; 10][0,5~;~10] ; la fonction ff^{\prime} est donc du signe de x2x - 2, c'est à dire qu'elle s'annule pour x=2x=2 et est strictement positive pour x>2x>2.

    De plus :

    f(2)=222ln2=2ln2f(2)=2 - 2 - 2\ln2= - 2\ln2 ;

    f(0,5)=0,522ln(0,5)=0,522ln(12)=1,5+2ln2f(0,5)=0,5 - 2 - 2\ln(0,5)=0,5 - 2 - 2\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)= - 1,5+2\ln2 ;

    f(2)=1022ln10=82ln10f(2)=10 - 2 - 2\ln10=8 - 2\ln10.

    On obtient le tableau de variations suivant :

    tableau de variation de la fonction f

  3. L'équation réduite de la tangente TT à la courbe Cf\mathscr{C}_f au point AA d'abscisse 11 est :

    y=f(1)(x1)+f(1).y=f^{\prime}(1)(x - 1)+f(1).

    Or :

    f(1)=122ln(1)=1 f(1)=1 - 2 - 2\ln(1)= - 1\ et f(1)=121=1.f^{\prime}(1)=\dfrac{1 - 2}{1}= - 1.

    L'équation réduite de TT est donc :

    y=1(x1)1y= - 1(x - 1) - 1

    y=x.y= - x.

    (N.B. : Cette droite passe par le point AA et par l'origine du repère.)

    À retenir

    L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de ff au point d'abscisse \bm{a} est :

    y=f(a)(xa)+f(a). y=f^{\prime}(a)(x - a)+f(a).

  4. La fonction ff^{\prime} est dérivable sur l'intervalle [0,5 ; 10][0,5~;~10] ; posons :

    u(x)=x2 u(x)=x - 2\ et  v(x)=x.\ v(x)=x.

    Alors :

    u(x)=1 u^{\prime}(x)=1\ et  v(x)=1\ v(^{\prime}x)=1.

    Par conséquent :

    f(x)=u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)2f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\prime}(x)}{v(x)^2}

    f(x)=x(x2)x2\phantom{f^{\prime \prime}(x)}=\dfrac{x - (x - 2)}{x^2}

    f(x)=2x2\phantom{f^{\prime \prime}(x)}=\dfrac{2}{x^2}.

    f(x)f^{\prime \prime}(x) est strictement positive sur l'intervalle [0,5 ; 10][0,5~;~10] donc la fonction ff est convexe sur cet intervalle.

  5. f(0)=2ln21,50,11<0f(0)=2\ln2 - 1,5 \approx - 0,11 < 0 ;

    f(2)=2ln21,39<0f(2)=2\ln2 \approx - 1,39 < 0 ;

    f(10)=82ln103,39>0f(10)= 8 - 2\ln10 \approx 3,39 >0.

    D'après le tableau de variations de la question 2., on voit que :

    • Pour x[0,5 ; 2]x \in [0,5~;~2], f(x)f(x) est strictement négatif (car inférieur à f(0)f(0) qui est négatif).

      L'équation f(x)=0f(x)=0 n'a donc pas de solution sur cet intervalle.

    • Sur l'intervalle [2 ; 10][2~;~10], ff est continue, strictement croissante et change de signe entre 2 et 10. Donc l'équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution sur l'intervalle [2 ; 10][2~;~10].

      Par conséquent, l'équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution sur l'intervalle [0,5 ; 10][0,5~;~10].

      À la calculatrice, on trouve :

      f(5,35)0,004<0f(5,35) \approx - 0,004 < 0 ;

      f(5,36)20,002>0f(5,36) \approx 20,002 > 0.

      Par conséquent :

      5,35<α<5,36. 5,35 < \alpha < 5,36.

  6. Pour montrer que FF est une primitive de ff sur l'intervalle [0,5 ; 10][0,5~;~10], il suffit de montrer que F=fF^{\prime}=f.

    La dérivée de la fonction xx22x \longmapsto \dfrac{x^2}{2} est la fonction x2x2=x{x \longmapsto \dfrac{2x}{2}=x}.

    Pour calculer la dérivée de la fonction x2xlnxx \longmapsto - 2x\ln x on pose :

    u(x)=2x u(x)= - 2x\ et  v(x)=lnx\ v(x)=\ln x.

    Alors :

    u(x)=2 u^{\prime}(x)= - 2\ et  v(x)=1x\ v(^{\prime}x)=\dfrac{1}{x} ;

    et :

    u(x)v(x)+u(x)v(x)=2lnx2x×1x=2lnx2u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x)= - 2\ln x - 2x \times \dfrac{1}{x}= - 2\ln x - 2.

    Par conséquent :

    F(x)=x2lnx2=f(x)F^{\prime}(x) = x - 2\ln x - 2 = f(x).

    La fonction FF est donc une primitive de la fonction ff sur l'intervalle [0,5 ; 10][0,5~;~10].

    En pratique

    Pour montrer qu'une fonction FF est une primitive de la fonction ff sur un intervalle II, on calcule la dérivée FF^{\prime} de FF et on montre que F=fF^{\prime}=f.

  7. La fonction FF étant une primitive de la fonction ff sur l'intervalle [0,5 ; 10][0,5~;~10], on a :

    I=610f(t)dt=[F(t)]610=F(10)F(6)I=\displaystyle\int_{6}^{10}f(t)\text{d}t=\left[F(t)\right]_6^{10}=F(10) - F(6)

    I=102220ln10[62212ln6]\phantom{I}=\dfrac{10^2}{2} - 20\ln 10 - \left[\dfrac{6^2}{2} - 12\ln 6\right]

    I=5020ln1018+12ln6\phantom{I}=50 - 20\ln 10 - 18 + 12\ln 6

    I=3220ln10+12ln6\phantom{I}=32 - 20\ln 10 + 12\ln 6

    I7,45I \approx 7,45 (arrondi au centième).

    La fonction ff étant positive sur l'intervalle [6 ; 10][6~;~10], l'intégrale II est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe Cf\mathscr{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x=6x=6 et x=10x=10.

    À retenir

    Pour calculer l'intégrale abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x alors que l'on connaît une primitive FF de ff sur l'intervalle [a ; b][a~;~b], on utilise la formule :

    abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)F(a). \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a).

    Remarque

    La variable xx dans l'expression abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x est une variable « muette ».

    Cela signifie qu'elle n'apparaît pas dans le résultat du calcul et que l'on peut lui substituer n'importe quelle autre lettre ; par exemple il est équivalent d'écrire abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x ou abf(t)dt\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\text{d}t.