Vrai/Faux : Propriétés de l’intégrale

Soient $f$ et $g$ continues sur $[a\,;\,b]$ et $\lambda$ un réel.

Affirmation : $\displaystyle\int_{a}^{b}\big(\lambda f(x) + g(x)\big)\,\mathrm{d}x = \lambda\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x + \displaystyle\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x$.

Soient $f$ continue sur un intervalle contenant $a$, $b$ et $c$.

Affirmation : $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_{a}^{c} f(x)\,\mathrm{d}x + \displaystyle\int_{c}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$, même si $c$ n'est pas situé entre $a$ et $b$.

Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{2}(f(x) \times g(x))\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x \times \displaystyle\int_{0}^{2} g(x)\,\mathrm{d}x$.

Affirmation : Si $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$, alors $f$ est nécessairement la fonction nulle sur $[0\,;\,2]$.

Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$, et telle que $f(x) \leqslant 0$ pour tout $x \in [a\,;\,b]$.

Affirmation : $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x \geqslant 0$.

On donne $\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x = 5$ et $\displaystyle\int_{0}^{4} g(x)\,\mathrm{d}x = 2$.

Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{4} (3 f(x) - 2 g(x))\,\mathrm{d}x = 11$.