Primitive composée et condition initiale
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On considère la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :
- Justifier que $ f $ admet des primitives sur $ \mathbb{R} $.
- Déterminer une primitive $ G $ de $ f $ sur $ \mathbb{R} $.
- Déterminer la primitive $ F $ de $ f $ qui vérifie $ F(0) = 3 $.
- Calculer $ \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx $. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée arrondie au centième.
Corrigé
- La fonction $ x \mapsto x^2 + 1 $ est continue et strictement positive sur $ \mathbb{R} $, donc $ f $ est continue sur $ \mathbb{R} $ comme quotient de fonctions continues. Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives, donc $ f $ admet des primitives sur $ \mathbb{R} $.
Posons $ u(x) = x^2 + 1 $. Alors $ u^{\prime}(x) = 2x $ et $ u(x) > 0 $ sur $ \mathbb{R} $.
On peut écrire :$ f(x) = \dfrac{4x}{x^2 + 1} = 2 \times \dfrac{2x}{x^2 + 1} = 2 \times \dfrac{u^{\prime}(x)}{u(x)} $$ f $ est de la forme $ 2\,\dfrac{u^{\prime}}{u} $, dont une primitive sur un intervalle où $ u > 0 $ est $ 2\ln(u) $. Une primitive de $ f $ sur $ \mathbb{R} $ est donc :
$\mathbf{G(x) = 2\ln(x^2 + 1)}$Les primitives de $ f $ sur $ \mathbb{R} $ sont les fonctions $ F(x) = 2\ln(x^2 + 1) + k $, où $ k \in \mathbb{R} $.
On cherche $ k $ tel que $ F(0) = 3 $ :$ F(0) = 2\ln(0^2 + 1) + k = 2\ln(1) + k = k $On a donc $ k = 3 $, soit :
$\mathbf{F(x) = 2\ln(x^2 + 1) + 3}$On utilise la primitive $ G $ trouvée à la question 2 :
$ \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \left[2\ln(x^2 + 1)\right]_{0}^{1} = 2\ln(2) - 2\ln(1) = 2\ln(2) $On obtient $ 2\ln(2) \approx 1{,}386$.
La valeur exacte est $\mathbf{2\ln(2)}$ et la valeur approchée au centième est $\mathbf{1{,}39}$.