Déterminer si deux droites sont parallèles (Thalès)
Problème :
et sont deux points d'une droite et et deux points d'une droite .
Les droites et sont sécantes en un point .
Deux cas de figure sont possibles :
On connait les longueurs
On se pose la question suivante :
Les droites et sont-elles parallèles ?
Méthode
On calcule séparément chacun des deux rapports et
Si ces deux rapports sont égaux, les droites et sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès
Sinon, les droites et ne sont pas parallèles (en effet, si elles étaient parallèles, on aurait d'après le théorème de Thalès.)
Attention à la rédaction :
N'écrivez pas tant que vous n'avez pas prouvé que ces rapports étaient égaux !
La réciproque du théorème de Thalès sert à prouver que les droites et sont parallèles. Ne citez pas la réciproque du théorème de Thalès si et ne sont pas parallèles !
Il faut faire attention à l'alignement et à l' ordre des points. // Dans le cas de la première figure ci-dessus, on signalera que et sont dans le même ordre ; dans le cas de la seconde figure, que et sont dans le même ordre.
Remarque:
N'oubliez pas qu'il existe d'autres méthodes pour démontrer que deux droites sont parallèles.
En particulier, un théorème couramment utilisé au collège pour montrer que deux droites sont parallèles est le suivant :
Théorème
Deux droites prependiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles.
Exemple 1
Dans la figure ci-dessous, tracée à main levée, on a : cm, cm, cm et cm.
Les droites et sont-elles parallèles ?
Solution
Les droites et sont sécantes en .
Les points et sont dans le même ordre.
On calcule et :
Les rapports et ne sont pas égaux ; par conséquent, les droites et ne sont pas parallèles.
Exemple 2
Sur la figure ci-dessus, on sait que :
cm
cm
cm
cm
Les droites et sont-elles parallèles ?
Solution
Les droites et sont sécantes au point .
Les points et les points sont situés dans le même ordre.
On va comparer les rapports et .
Pour cela, on calcule d'abord :
Alors :
Les rapports et sont égaux, donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès les droites et sont parallèles.