Théorème de Thalès et parallélogramme
Sur la figure ci-dessous, est un parallélogramme. est un point du côté
La parallèle à la droite passant par coupe la diagonale en .
Enfin, la droite coupe la droite en .
Montrer que :
Montrer que :
En déduire que :
Application numérique :
Calculer la longueur sachant que cm et cm.(Question subsidiaire) Que peut-on dire de la position du point lorsque l'on modifie la position du point ?
Corrigé
Les triangles et sont en situation de Thalès ; en effet :
les points , et sont alignés
les points , et sont alignés
les droites et sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a donc :
(Le troisième rapport sera inutile pour cet exercice.)
De même, les triangles et sont en situation de Thalès car :
les points , et sont alignés
les points , et sont alignés
les droites et sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès :
Comme est un parallélogramme, donc et donc les rapports des questions 1. et 2. sont tous égaux.
En particulier :
Application numérique :
PosonsAlors:
D'après la question précédente, on a donc :
En effectuant le produit en croix cette équation s'écrit:
La longueur mesure donc 1 cm.
La position du point reste inchangée lorsque l'on modifie la position du point (à partir du moment où est un parallélogramme et où l'on suit les consignes de l'énoncé. ).
On peut d'ailleurs vérifier ce résultat à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique comme geogebra.En effet, le résultat de la question 3. montre que la distance ne dépend que de la position de , et et ne dépend ni de la distance ni de la mesure de l'angle