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Théorème de Thalès et projections orthogonales

D\mathscr{D} et D′\mathscr{D ^{\prime}} sont deux droites sécantes en O O .
I I est un point quelconque de D\mathscr{D} et J J un point quelconque de D′.\mathscr{D ^{\prime}}.

KK est la projection orthogonale de I I sur D′\mathscr{D ^{\prime}}
(cela signifie que K∈D′ K \in \mathscr{D ^{\prime}} et que les droites (IJ) \left( IJ \right) et D′\mathscr{D ^{\prime}} sont perpendiculaires.)
LL est la projection orthogonale de K K sur D\mathscr{D}
MM est la projection orthogonale de J J sur D\mathscr{D}
NN est la projection orthogonale de MM sur D′.\mathscr{D ^{\prime}}.

Démontrer que les droites (IJ) \left( IJ \right) et (LN) \left( LN \right) sont parallèles.

Corrigé

Les droites (JM) \left( JM \right) et (KL) \left( KL \right) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite D\mathscr{D} , donc, elles sont parallèles entre elles.

Par ailleurs, les points O,N,K O, N, K sont alignés ainsi que les points O,L,M O, L, M  ;
par conséquent, d'après le théorème de Thalès :

OJOK=OMOL=JMKL \frac{ OJ }{ OK } = \frac{ OM }{ OL } = \frac{ JM }{ KL }

L'égalité OJOK=OMOL \frac{ OJ }{ OK } = \frac{ OM }{ OL } est équivalente à :

OM×OK=OJ×OL(1) OM \times OK = OJ \times OL \quad \textbf{(1)}

De même, les droites (IK) \left( IK \right) et (NM) \left( NM \right) sont parallèles puisqu'elles sont toutes les deux perpendiculaires à la droite D′\mathscr{D ^{\prime}} .

Les points O,M,K O, M, K et O,M,I O, M, I sont alignés ;

donc, d'après le théorème de Thalès :

OKON=OIOM=IKNM \frac{ OK }{ ON } = \frac{ OI }{ OM } = \frac{ IK }{ NM }

L'égalité OKON=OIOM \frac{ OK }{ ON } = \frac{ OI }{ OM } est équivalente à :

OM×OK=OI×ON(2) OM \times OK = OI \times ON \quad \textbf{(2)}

Des égalités (1) et (2) on en déduit que :

OJ×OL=OI×ON OJ \times OL = OI \times ON

En divisant chaque membre de l'égalité par OL×ON OL \times ON on en déduit que :

OJ×OLOL×ON=OI×ONOL×ON \frac{ OJ \times OL }{ OL \times ON } = \frac{ OI \times ON }{ OL \times ON }

OJON=OIOL \frac{ OJ }{ ON } = \frac{ OI }{ OL }

Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (NL) \left( NL \right) et (IJ) \left( IJ \right) sont parallèles.

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