Solution :

On se place dans les triangles $RSI$ et $MNI$ ;

On précise les conditions d'alignement et de parallélisme :

• les points $R, I, N$ ainsi que les points $M, I, S$ sont alignés

• les droites $\left( MN \right)$ et $\left( RS \right)$ sont parallèles.

Par conséquent, d'après le théorème de Thalès, on peut écrire :

Ici, le rapport $\frac{ RI }{ IN }$ ne nous intéresse pas car on ne connait ni la longueur $RI$ ni la longueur $IN$ .

On utilise les deux autres rapports en remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs :

$\frac{ 2 }{ MI }$ = $\frac{4 }{ 5 }$

En effectuant le produit en croix, on obtient :

$4MI = 2 \times 5$
$4MI=10$
$MI= \frac{ 10}{ 4 } = 2,5 \texttt{cm}$

Solution :

Les triangles $ABC$ et $ADE$ sont en situation de Thalès car :

• les points $A, B, D$ ainsi que les points $A, C, E$ sont alignés

• les droites $\left( BC \right)$ et $\left( DE \right)$ sont parallèles.

  En utilisant le théorème de Thalès, on obtient :

  $\frac{ AB }{ AD } = \frac{ AC }{ AE } = \frac{ BC }{ DE }$

  Remarque

  Il ne faut pas chercher à tout prix à faire figurer la longueur recherchée (ici $BD$) dans l'égalité des rapports.
  En effet, $\left[ BD \right]$ n'est pas un côté de l'un des triangles $ABC$ ou $ADE$. Toutefois, il sera facile de calculer $BD$ une fois la longueur $AB$ connue.

  L'égalité des deux premiers quotients donne :

  $\frac{ AB }{ 5 } = \frac{ 3 }{ 4 }$

  Avec le produit en croix :

  $4AB = 3 \times 5$
  $4 AB = 15$

  $AB = \frac{ 15 }{ 4 } = 3,75$

  Pour calculer la distance $BD$, il suffit maintenant de faire :
  $BD = AD - AB = 5 - 3,75 = 1,25.$

  Donc le segment $\left[ BD \right]$ mesure $1,25$cm.

Solution :

Le raisonnement précédent donne, là aussi :

Cette fois, le calcul est légèrement plus compliqué car on ne connait ni $AD$ ni $AB$ (que l'on recherche).

On pose alors : $AB = x$. Par conséquent :
$AD = AB + BD = x + 8$

À partir de l'égalité :

$\frac{ AB }{ AD } = \frac{ AC }{ AE }$

on obtient l'équation :

$\frac{ x }{ x+8 } = \frac{ 4 }{ 9 }$

et en effectuant le produit en croix :

$9x = 4 \left( x+8 \right)$
$9x = 4x + 32$
$9x - 4x = 32$
$5x = 32$
$x = \frac{ 32 }{ 5 } = 6,4$

La longueur $AB$ est donc $6,4$ cm.