Théorème de Thalès et cercles

Dans la figure ci-dessous, les points $A, O, D$ sont alignés ainsi que les points $B, O, C$ .

$B$ appartient au cercle de diamètre $[AO]$ et $C$ appartient au cercle de diamètre $[DO]$ .

$\text{[math]}$

On donne :

$AO=8$ cm

$OD=5$ cm

$DC=3$ cm.

Montrer que le triangle $ABO$ est rectangle en $B$ et que le triangle $OCD$ est rectangle en $C$ .
Justifier que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Calculer la longueur $AB$ .

Corrigé

On utilise la propriété suivante :

Rappel

Si $[BC]$ est un diamètre d'un cercle et $A$ un point de ce cercle (distinct de $B$ et de $C$ ), alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

Le côté $[AO]$ est un diamètre du cercle circonscrit au triangle $ABO$ , donc le triangle $ABO$ est rectangle en $B$ .

De même, le côté $[DO]$ est un diamètre du cercle circonscrit au triangle $OCD$ , donc le triangle $OCD$ est rectangle en $C$ .
D'après la question précédente, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont toutes deux perpendiculaires à la droite $(AD)$ ; elles sont donc parallèles entre elles.
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles et les points $A, O, D$ sont alignés de même que les points $B, O, C$ ; les triangles $ABO$ et $OCD$ forment alors une configuration de Thalès.

On a donc, d'après le théorème de Thalès :

$\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{AO}{OD}$

$\dfrac{AB}{3}=\dfrac{8}{5}$

Par conséquent :

$AB=\dfrac{3 \times 8}{5}=4,8.$

Le côté $AB$ mesure $4,8$ cm.