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Réciproque du théorème de Thalès (Brevet 2013)

(D'après Brevet Pondichéry 2013)

On considère la figure ci-dessous :

  1. On donne :

    OA=2,8OA=2,8cm
    OB=2OB=2cm
    OC=5OC=5cm
    OD=3,5OD=3,5cm.

    Les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont-elles parallèles ?

  2. On donne :

    OA=4OA=4cm
    OB=2,8OB=2,8cm
    OC=6OC=6cm
    OD=4,2OD=4,2cm.

    Les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont-elles parallèles ?

Corrigé

Méthode

Pour savoir si les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont parallèles, on calcule séparément les rapports OAOC\dfrac{OA}{OC} et OBOD\dfrac{OB}{OD}.

Si ces deux rapports sont égaux, les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès. Sinon, les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) ne sont pas parallèles.

  1. Pour la question 1. :

    OAOC=2,85=0,56\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{2,8}{5}=0,56

    OBOD=23,5=47≈0,571\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{2}{3,5}=\dfrac{4}{7} \approx 0,571

    OAOC≠OBOD\dfrac{OA}{OC} \neq \dfrac{OB}{OD} donc les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) ne sont pas parallèles.

  2. Pour la question 2. :

    OAOC=46=23\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}

    OBOD=2,84,2=2842=23\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{2,8}{4,2}=\dfrac{28}{42}=\dfrac{2}{3}

    OAOC=OBOD\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD} donc les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.

    Remarque

    Attention : Ne pas calculer de valeur approchée (par exemple 0,670,67) pour cette question ! On veut montrer que les rapports sont exactement égaux (et pas seulement qu'ils sont à peu près égaux).

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