On sait déjà que $APMN$ est un parallélogramme car les droites $\left( MN \right)$ et $\left( AP \right)$ sont parallèles ainsi que les droites $\left( MP \right) et \left( AN \right).$

Pour que ce soit un losange il faut et il suffit que $MN = MP.$

Calculons $MP$ puis $MN$ en utilisant le théorème de Thalès :

• Calcul de $MP$

  Posons $x = MC.$

  On a alors :
  $BM = BC -MC = 4 -x$

  Les droites $\left( MP \right)$ et $\left( AC \right)$ sont parallèles ; les points $B, M, C$ et les points $B, P, A$ sont alignés.

  Donc, d'après le théorème de Thalès :

  $\frac{ BM }{ BC } = \frac{ MP }{ AC } = \frac{ BP }{ AB }$

  La première égalité donne :

  $\frac{ 4-x }{ 4 } = \frac{ MP }{ 5 }$

  donc, avec un produit en croix :

  $4 MP = 5 \left( 4-x \right)$

  $MP = \frac{ 5 \left( 4-x \right) }{ 4 }.$
  

• Calcul de MN

  De même, les droites $\left( MN \right)$ et $\left( AB \right)$ sont parallèles et les points $C, M, B$ et $C, N, A$ sont alignés.

  Par conséquent :

  $\frac{ CM }{ BC } = \frac{ MN }{ AB } = \frac{ CN }{ CA }$

  L'égalité des deux premiers quotients équivaut à :

  $\frac{ x }{ 4 } = \frac{ MN }{ 7 }$

  soit : $4 MN = 7x$
  $MN = \frac{ 7x }{ 4 }.$

• Conclusion

  $APMN$ est donc un losange si et seulement si :

  $MP = MN$

  $\frac{ 5(4-x) }{ 4 } = \frac{ 7x }{ 4 }$

  $5 \left( 4 -x \right) = 7x$
  $20 -5x = 7x$
  $20 = 7x + 5x$
  $12x = 20$

  $x = \frac{ 5 }{ 3 }$

  Il faut placer le point $M$ à $\frac{ 5 }{ 3 }$cm ( $\approx 1,67$ cm) de $C$ pour que le quadrilatère $APMN$ soit un parallélogramme.

Les diagonales d'un losange sont des axes de symétrie de ce losange.

Donc, si $APMN$ est un losange, la droite $\left( AM \right)$ est un axe de symétrie donc une bissectrice de l'angle $\widehat{ PAN }$ qui est aussi l'angle $\widehat{ BAC }.$

Pour placer le point $M$, il suffit donc de construire au compas la bissectrice de l'angle $\widehat{ BAC }.$

$M$ est alors le point d'intersection de cette bissectrice avec le côté $\left[ BC \right]$ :