Calculer des longueurs avec le théorème de Thalès

Méthode :

$ ABC $ et $ DCE $ sont deux triangles tels que :

• les points $ C, A, E $ et les points $ C, B, D $ sont alignés
• les droites $ \left( AB \right) $ et $ \left( ED \right) $ sont parallèles.

Deux cas de figure sont possibles :

Le théorème de Thalès conclut que les longueurs des côtés du triangle $ ABC $ et les longueurs des côtés du triangle $ CDE $ sont proportionnelles, c'est à dire que :

Attention à l'ordre des côtés - voir cours !

En général, l'un des trois rapports sera inutile pour résoudre l'exercice.

À partir des deux autres rapports, on peut calculer le côté recherché en effectuant, par exemple, un produit en croix.

Exemple 1

Calculer $ MI $ sachant que $ RS = 4 $ cm, $ MN = 5 $ cm et $ IS = 2 $ cm.

Solution :

On se place dans les triangles $ RSI $ et $ MNI $ ;

On précise les conditions d'alignement et de parallélisme :

• les points $ R, I, N $ ainsi que les points $ M, I, S $ sont alignés
• les droites $ \left( MN \right) $ et $ \left( RS \right) $ sont parallèles.

Par conséquent, d'après le théorème de Thalès, on peut écrire :

Ici, le rapport $ \dfrac{ RI }{ IN } $ ne nous intéresse pas car on ne connait ni la longueur $ RI $ ni la longueur $ IN $ .

On utilise les deux autres rapports en remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs :

$ \dfrac{ 2 }{ MI } $ = $ \dfrac{4 }{ 5 } $

En effectuant le produit en croix, on obtient :

$ 4MI = 2 \times 5 $
$ 4MI=10 $
$ MI= \dfrac{ 10}{ 4 } = 2{,}5 $ cm

Exemple 2

On donne : $ AC =3 $ cm, $ AD = 5 $ cm et $ AE = 4 $ cm.
Calculer $ BD. $

Solution :

Les triangles $ ABC $ et $ ADE $ sont en situation de Thalès car :

• les points $ A, B, D $ ainsi que les points $ A, C, E $ sont alignés
• les droites $ \left( BC \right) $ et $ \left( DE \right) $ sont parallèles.

En utilisant le théorème de Thalès, on obtient :

Il ne faut pas chercher à tout prix à faire figurer la longueur recherchée (ici $ BD $) dans l'égalité des rapports. En effet, $ \left[ BD \right] $ n'est pas un côté de l'un des triangles $ ABC $ ou $ ADE $. Toutefois, il sera facile de calculer $ BD $ une fois la longueur $ AB $ connue.

L'égalité des deux premiers quotients donne :

$ \dfrac{ AB }{ 5 } = \dfrac{ 3 }{ 4 } $

Avec le produit en croix :

$ 4AB = 3 \times 5 $
$ 4 AB = 15 $

$ AB = \dfrac{ 15 }{ 4 } = 3{,}75 $

Pour calculer la distance $ BD $, il suffit maintenant de faire :
$ BD = AD - AB = 5 - 3{,}75 = 1{,}25. $

Donc le segment $ \left[ BD \right] $ mesure $ 1{,}25 $ cm.

Exemple 3

La figure est similaire à celle de l'exercice précédent mais, cette fois, on connait : $ BD = 8 $ cm, $ AE = 9 $ cm et $ AC = 4 $ cm.
On cherche à calculer la longueur $ AB. $

Solution :

Le raisonnement précédent donne, là aussi :

Cette fois, le calcul est légèrement plus compliqué car on ne connait ni $ AD $ ni $ AB $ (que l'on recherche).

On pose alors : $ AB = x $. Par conséquent :
$ AD = AB + BD = x + 8 $

À partir de l'égalité :

$ \dfrac{ AB }{ AD } = \dfrac{ AC }{ AE } $

on obtient l'équation :

$ \dfrac{ x }{ x+8 } = \dfrac{ 4 }{ 9 } $

et en effectuant le produit en croix :

$ 9x = 4 \left( x+8 \right) $
$ 9x = 4x + 32 $
$ 9x - 4x = 32 $
$ 5x = 32 $
$ x = \dfrac{ 32 }{ 5 } = 6{,}4 $

La longueur $ AB $ est donc $ 6{,}4 $ cm.