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Troisième

Méthode

Calculer des longueurs avec le théorème de Thalès

Méthode :

ABC ABC ABC et DCE DCE DCE sont deux triangles tels que :

  • les points C,A,E C, A, E C,A,E et les points C,B,D C, B, D C,B,D sont alignés

  • les droites (AB) \left( AB \right) (AB) et (ED) \left( ED \right) (ED) sont parallèles.

Deux cas de figure sont possibles :

configuration de Thalès n°1

configuration de Thalès n°2

\

Le théorème de Thalès conclut que les longueurs des côtés du triangle ABC ABC ABC et les longueurs des côtés du triangle CDE CDE CDE sont proportionnelles, c'est à dire que :

CACE=CBCD=ABDE \frac{ CA }{ CE } = \frac{ CB }{ CD } = \frac{ AB }{ DE } ​CE​​CA​​=​CD​​CB​​=​DE​​AB​​

Attention à l'ordre des côtés - voir cours !

En général, l'un des trois rapports sera inutile pour résoudre l'exercice.

À partir des deux autres rapports, on peut calculer le côté recherché en effectuant, par exemple, un produit en croix.

Exemple 1

Thalès exercice 1

Calculer MI MI MI sachant que RS=4cm RS = 4 \texttt{cm} RS=4cm , MN=5cm MN = 5 \texttt{cm} MN=5cm et IS=2cm. IS = 2 \texttt{cm} . IS=2cm.

Solution :

On se place dans les triangles RSI RSI RSI et MNI MNI MNI ;

On précise les conditions d'alignement et de parallélisme :

  • les points R,I,N R, I, N R,I,N ainsi que les points M,I,S M, I, S M,I,S sont alignés

  • les droites (MN) \left( MN \right) (MN) et (RS) \left( RS \right) (RS) sont parallèles.

Par conséquent, d'après le théorème de Thalès, on peut écrire :

RIIN=SIIM=RSMN \frac{ RI }{ IN} = \frac{ SI }{ IM } = \frac{ RS }{ MN } ​IN​​RI​​=​IM​​SI​​=​MN​​RS​​

Ici, le rapport RIIN \frac{ RI }{ IN } ​IN​​RI​​ ne nous intéresse pas car on ne connait ni la longueur RI RI RI ni la longueur IN IN IN .

On utilise les deux autres rapports en remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs :

2MI \frac{ 2 }{ MI } ​MI​​2​​ = 45\frac{4 }{ 5 } ​5​​4​​

En effectuant le produit en croix, on obtient :

4MI=2×5 4MI = 2 \times 5 4MI=2×5
4MI=10 4MI=10 4MI=10
MI=104=2,5cm MI= \frac{ 10}{ 4 } = 2,5 \texttt{cm} MI=​4​​10​​=2,5cm

Exemple 2

Thalès exercice 2

On donne : AC=3cm AC =3 \texttt{cm} AC=3cm, AD=5cm AD = 5 \texttt{cm} AD=5cm et AE=4cm AE = 4 \texttt{cm} AE=4cm.
Calculer BD. BD. BD.

Solution :

Les triangles ABC ABC ABC et ADE ADEADE sont en situation de Thalès car :

  • les points A,B,D A, B, D A,B,D ainsi que les points A,C,E A, C, E A,C,E sont alignés

  • les droites (BC) \left( BC \right) (BC) et (DE) \left( DE \right) (DE) sont parallèles.

    En utilisant le théorème de Thalès, on obtient :

    ABAD=ACAE=BCDE \frac{ AB }{ AD } = \frac{ AC }{ AE } = \frac{ BC }{ DE } ​AD​​AB​​=​AE​​AC​​=​DE​​BC​​

    Remarque

    Il ne faut pas chercher à tout prix à faire figurer la longueur recherchée (ici BD BD BD) dans l'égalité des rapports.
    En effet, [BD] \left[ BD \right] [BD] n'est pas un côté de l'un des triangles ABC ABC ABC ou ADE ADE ADE. Toutefois, il sera facile de calculer BD BD BD une fois la longueur AB ABAB connue.

    L'égalité des deux premiers quotients donne :

    AB5=34 \frac{ AB }{ 5 } = \frac{ 3 }{ 4 } ​5​​AB​​=​4​​3​​

    Avec le produit en croix :

    4AB=3×5 4AB = 3 \times 5 4AB=3×5
    4AB=15 4 AB = 15 4AB=15

    AB=154=3,75 AB = \frac{ 15 }{ 4 } = 3,75 AB=​4​​15​​=3,75

    Pour calculer la distance BD BD BD, il suffit maintenant de faire :
    BD=AD−AB=5−3,75=1,25. BD = AD -AB = 5 -3,75 = 1,25.BD=AD−AB=5−3,75=1,25.

    Donc le segment [BD] \left[ BD \right] [BD] mesure 1,25 1,25 1,25cm.

Exemple 3

Thalès exercice 2

La figure est similaire à celle de ll'exercice précédent mais, cette fois, on connait : BD=8cm BD = 8\texttt{cm} BD=8cm, AE=9cm AE = 9\texttt{cm} AE=9cm et AC=4cm AC = 4 \texttt{cm} AC=4cm.
On cherche à calculer la longueur AB. AB. AB.

Solution :

Le raisonnement précédent donne, là aussi :

ABAD=ACAE=BCDE \frac{ AB }{ AD } = \frac{ AC }{ AE } = \frac{ BC }{ DE } ​AD​​AB​​=​AE​​AC​​=​DE​​BC​​

Cette fois, le calcul est légèrement plus compliqué car on ne connait ni AD AD AD ni AB AB AB (que l'on recherche).

On pose alors : AB=x AB = x AB=x. Par conséquent :
AD=AB+BD=x+8 AD = AB + BD = x + 8 AD=AB+BD=x+8

À partir de l'égalité :

ABAD=ACAE \frac{ AB }{ AD } = \frac{ AC }{ AE } ​AD​​AB​​=​AE​​AC​​

on obtient l'équation :

xx+8=49 \frac{ x }{ x+8 } = \frac{ 4 }{ 9 } ​x+8​​x​​=​9​​4​​

et en effectuant le produit en croix :

9x=4(x+8) 9x = 4 \left( x+8 \right) 9x=4(x+8)
9x=4x+32 9x = 4x + 32 9x=4x+32
9x−4x=32 9x -4x = 32 9x−4x=32
5x=32 5x = 32 5x=32
x=325=6,4 x = \frac{ 32 }{ 5 } = 6,4x=​5​​32​​=6,4

La longueur AB AB AB est donc 6,4 6,4 6,4 cm.

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Méthodes

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