Méthode :
et sont deux triangles tels que :
les points et les points sont alignés
les droites et sont parallèles.
Deux cas de figure sont possibles :
\
Attention à l'ordre des côtés - voir cours !
En général, l'un des trois rapports sera inutile pour résoudre l'exercice.
À partir des deux autres rapports, on peut calculer le côté recherché en effectuant, par exemple, un produit en croix.
Exemple 1
Calculer sachant que , et
Solution :
On se place dans les triangles et ;
On précise les conditions d'alignement et de parallélisme :
les points ainsi que les points sont alignés
les droites et sont parallèles.
Par conséquent, d'après le théorème de Thalès, on peut écrire :
Ici, le rapport ne nous intéresse pas car on ne connait ni la longueur ni la longueur .
On utilise les deux autres rapports en remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs :
=
En effectuant le produit en croix, on obtient :
Exemple 2
On donne : , et .
Calculer
Solution :
Les triangles et sont en situation de Thalès car :
les points ainsi que les points sont alignés
les droites et sont parallèles.
En utilisant le théorème de Thalès, on obtient :
Remarque
Il ne faut pas chercher à tout prix à faire figurer la longueur recherchée (ici ) dans l'égalité des rapports.
En effet, n'est pas un côté de l'un des triangles ou . Toutefois, il sera facile de calculer une fois la longueur connue.L'égalité des deux premiers quotients donne :
Avec le produit en croix :
Pour calculer la distance , il suffit maintenant de faire :
Donc le segment mesure cm.
Exemple 3
La figure est similaire à celle de ll'exercice précédent mais, cette fois, on connait : , et .
On cherche à calculer la longueur
Solution :
Le raisonnement précédent donne, là aussi :
Cette fois, le calcul est légèrement plus compliqué car on ne connait ni ni (que l'on recherche).
On pose alors : . Par conséquent :
À partir de l'égalité :
on obtient l'équation :
et en effectuant le produit en croix :
La longueur est donc cm.
