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TVI - Algorithme de dichotomie

Soit la fonction ff définie sur l'intervalle I=[−4 ; 4]I=[ - 4\ ; \ 4] par f(x)=x3−6x+1f(x)=x^3 - 6x+1.

Partie I

  1. Justifier que ff est dérivable sur II et calculer f′(x)f^{\prime}(x) pour xx appartenant à II.

  2. Tracer le tableau de variations de ff.

  3. Montrer que l'équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution α\alpha sur l'intervalle [0 ; 1][0~;~1].

Partie II

  1. On souhaite déterminer une valeur approchée de α\alpha grâce à l'algorithme de dichotomie suivant :

    Variables a,b,m,ha, b, m, h sont des nombres
    Initialisation Lire aa
    Lire bb
    Lire hh
    Traitement Tant que b−a>hb - a > h :
    \quadAffecter à mm la valeur a+b2\frac{a+b}{2}
    \quadSi f(a)×f(m)>0f(a) \times f(m) > 0, alors
    \quad \quadAffecter à aa la valeur mm
    \quadSinon
    \quad \quadAffecter à bb la valeur mm
    \quadFin Si
    Fin Tant que
    Sortie Afficher aa
    Afficher bb

    Compléter le tableau suivant obtenu pour la fonction ff définie ci-dessus et les valeurs a=0; b=1; h=0,1a=0;\ b=1;\ h=0,1 (on ajoutera autant de lignes que nécessaire).

    aa bb hh b−a>hb - a > h mm f(a)×f(m)>0f(a) \times f(m) > 0
    0 1 0,1 vrai 0,5 faux
    0 0,5 ... ... ... ...
    ... ... ... ... ... ...

  2. Quelles valeurs obtient-on en sortie de cet algorithme ? Que représentent ces valeurs ?

  3. Que représentent chacun des nombres a,b,m,ha, b, m, h dans cet algorithme ?

Corrigé

pdf Solution rédigée par Paki

ERRATUM : ligne 6, lire f′(x)=⋯=3(x+2)(x−2)f^{\prime}(x)=\cdots=3(x+\sqrt{2})(x - \sqrt{2}) au lieu de f′(x)=⋯=3(x+2)(3−2)f^{\prime}(x)=\cdots=3(x+\sqrt{2})(3 - \sqrt{2})

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