(d'après Bac ES métropole 2009)

Partie A : Étude d'une fonction

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[0,5 ; 8\right]$ par :

On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0,5 ; 8\right].$

1. Démontrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left[0,5 ; 8\right]$ :

   $f^{\prime}\left(x\right) = 10\left( - x + 3\right)\text{e}^{ - 0,5x}$.

2. Étudier le signe de la fonction $f^{\prime}$ sur l'intervalle $\left[0,5 ; 8\right]$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$.

3. Construire la courbe représentative $\left(C\right)$ de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal $\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right)$. On prendra pour unités graphiques 2cm sur l'axe des abscisses et 1cm, sur l'axe des ordonnées.

Partie B : Application économique

Une entreprise produit sur commande des bicyclettes pour des municipalités.
La production mensuelle peut varier de 50 à 800 bicyclettes.

Le bénéfice mensuel réalisé par cette production peut être modélisé par la fonction $f$ de la partie A de la façon suivante :
Si, un mois donné, on produit $x$ centaines de bicyclettes, alors $f\left(x\right)$ modélise le bénéfice, exprimé en milliers d' euros, réalisé par l'entreprise ce même mois.

Dans la suite de l'exercice, on utilise ce modèle.

1. 1. Vérifier que si l'entreprise produit 220 bicyclettes un mois donné, alors elle réalise ce mois-là un bénéfice de 7 989 euros.

   2. Déterminer le bénéfice réalisé par une production de 408 bicyclettes un mois donné.

2. Pour cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte

   Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et le modèle précédent. Justifier chaque réponse.

   1. Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire au minimum de bicyclettes pour ne pas travailler à perte ?

   2. Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire de bicyclettes pour réaliser un bénéfice maximum.
      Préciser alors ce bénéfice à l'euro près.

   3. Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire de bicyclettes pour réaliser un bénéfice supérieur à 8 000 euros ?