$\lim_{x \rightarrow 0} \sqrt{x}=0$

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}=+\infty$ (car $x > 0$ sur $I$)

Par différence : $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)= - \infty$

La droite d'équation $x=0$, c'est à dire l'axe des ordonnées, est asymptote verticale à la courbe $\mathscr C_f.$

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x}=+\infty$

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{x}=0$

Donc, par somme: $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)=+\infty$

$f$ est dérivable sur $I= ]0~;~+\infty[$ comme différence de fonctions dérivables sur $I$.

La dérivée de la fonction $x\longmapsto\sqrt{x}$ est la fonction $x\longmapsto \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

La dérivée de la fonction $x\longmapsto\frac{1}{x}$ est la fonction $x\longmapsto - \frac{1}{x^2}$.

Par conséquent :

$f ^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{x^2}$

$f^{\prime}$ est la somme de deux fonctions strictement positives sur $I$ donc est strictement positive sur $I$.

Par conséquent, $f$ est strictement croissante sur $I$.

En s'aidant de la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs, on obtient le graphique ci-dessous :

$(T)$ est la tangente à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $a$.

L'équation réduite de $\mathscr C_f$ est donc :

$y=f^{\prime}(a)(x - a)+f(a)$

Cette droite passe par le point $O(0;0)$ donc :

$0=f^{\prime}(a)(0 - a)+f(a)$

Or :

$f^{\prime}(a)(0 - a)+f(a) = - af^{\prime}(a)+f(a)$

$\phantom{f^{\prime}(a)(0 - a)+f(a)} = \frac{ - a}{2\sqrt{a}}+\frac{ - a}{a^2}+\sqrt{a} - \frac{1}{a}$

$\phantom{f^{\prime}(a)(0 - a)+f(a)} = \frac{ - \sqrt{a}}{2}+\frac{ - 1}{a}+\sqrt{a} - \frac{1}{a}$

$\phantom{f^{\prime}(a)(0 - a)+f(a)} = \frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{2}{a}$

Par conséquent :

$\frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{2}{a}=0$

$g$ est dérivable sur $I$ comme différence de fonctions dérivables sur $I$ et :

$g^{\prime}(x)=\frac{1}{4\sqrt{x}}+\frac{2}{x^2}$

La fonction $g^{\prime}$ étant strictement positive sur $I$, $g$ est strictement croissante sur $I$.

$g(2)=\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \approx - 0,3$

$g(3)=\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2}{3} \approx 0,2$

La fonction $g$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $[2~;~3]$. $0$appartient à l'intervalle image $[g(2)~;~g(3)]$, donc d'après le théorème de la bijection (aussi appelé corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur l'intervalle $[2~;~3]$.

Cette solution est aussi l'unique solution de cette équation sur l'intervalle $I$ du fait de la stricte croissance de la fonction $g$ sur $I$.

Or, d'après la question 5. on sait que $\frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{2}{a}=0$ c'est à dire $g(a)=0$. Cette unique solution est donc $a$.

À la calculatrice, on trouve :

$g(2,51) \approx - 0,005 < 0$

$g(2,52) \approx 0,00008 > 0$

Par conséquent $2,51 \leqslant a \leqslant 2,52$.