$\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x^{3}= - \infty$

$\lim\limits_{x\rightarrow - \infty } - 3x^{2}= - \infty$

Donc par somme $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x^{3} - 3x^{2}+1= - \infty$

Lorsque $x\rightarrow +\infty$ on a une forme indéterminée du type «$+\infty - \infty$». On lève l'indétermination en mettant $x^{3}$ en facteur :

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{3} - 3x^{2}+1=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{3}\left(1 - \frac{3}{x}+\frac{1}{x^{3}}\right)$

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{3}=+\infty$

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }1 - \frac{3}{x}+\frac{1}{x^{3}}=1$ (par somme)

Donc par produit :

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{3}\left(1 - \frac{3}{x}+\frac{1}{x^{3}}\right)=+\infty$

$f^{\prime}\left(x\right)=3x^{2} - 6x=3x\left(x - 2\right)$

$f^{\prime}$ s'annule pour $x=0$ et $x=2$ et est strictement négative sur l'intervalle $\left]0 ; 2\right[$

On calcule : $f\left(0\right)=1$ et $f\left(2\right)= - 3$.

On obtient le tableau de variation suivant :

$f$ est une fonction polynôme donc continue sur $\mathbb{R}$.

Sur $\left] - \infty ; 0 \right[,$ $f$ est strictement croissante. $0$ est compris entre $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty }f\left(x\right)= - \infty$ et $f\left(0\right)=1$. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction strictement monotone, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution sur $\left] - \infty ; 0 \right[$.

Un raisonnement similaire montre que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet également une unique solution sur $\left] 0 ; 2 \right[$ où $f$ est strictement décroissante et une unique solution sur $\left] 2 ; +\infty \right[$ où $f$ est strictement croissante.

Au total, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet trois solutions.