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Troisième

difficileExercice corrigé

Théorème de Thalès et projections orthogonales

D\mathscr{D} D et D′\mathscr{D ^{\prime}} D​′​​ sont deux droites sécantes en O O O.
I I I est un point quelconque de D\mathscr{D} D et J J J un point quelconque de D′.\mathscr{D ^{\prime}}. D​′​​.

KKK est la projection orthogonale de I I I sur D′\mathscr{D ^{\prime}} D​′​​
(cela signifie que K∈D′ K \in \mathscr{D ^{\prime}} K∈D​′​​ et que les droites (IJ) \left( IJ \right) (IJ) et D′\mathscr{D ^{\prime}} D​′​​ sont perpendiculaires.)
LLL est la projection orthogonale de K K K sur D\mathscr{D} D
MMM est la projection orthogonale de J J J sur D\mathscr{D} D
NNN est la projection orthogonale de MMM sur D′.\mathscr{D ^{\prime}}. D​′​​.

Démontrer que les droites (IJ) \left( IJ \right) (IJ) et (LN) \left( LN \right) (LN) sont parallèles.

Corrigé

Les droites (JM) \left( JM \right) (JM) et (KL) \left( KL \right) (KL) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite D\mathscr{D} D, donc, elles sont parallèles entre elles.

Par ailleurs, les points O,N,K O, N, K O,N,K sont alignés ainsi que les points O,L,M O, L, M O,L,M ;
par conséquent, d'après le théorème de Thalès :

OJOK=OMOL=JMKL \frac{ OJ }{ OK } = \frac{ OM }{ OL } = \frac{ JM }{ KL } ​OK​​OJ​​=​OL​​OM​​=​KL​​JM​​

L'égalité OJOK=OMOL \frac{ OJ }{ OK } = \frac{ OM }{ OL } ​OK​​OJ​​=​OL​​OM​​ est équivalente à :

OM×OK=OJ×OL(1) OM \times OK = OJ \times OL \quad \textbf{(1)} OM×OK=OJ×OL(1)

De même, les droites (IK) \left( IK \right) (IK) et (NM) \left( NM \right) (NM) sont parallèles puisqu'elles sont toutes les deux perpendiculaires à la droite D′\mathscr{D ^{\prime}} D​′​​.

Les points O,M,K O, M, K O,M,K et O,M,I O, M, I O,M,I sont alignés ;

donc, d'après le théorème de Thalès :

OKON=OIOM=IKNM \frac{ OK }{ ON } = \frac{ OI }{ OM } = \frac{ IK }{ NM } ​ON​​OK​​=​OM​​OI​​=​NM​​IK​​

L'égalité OKON=OIOM \frac{ OK }{ ON } = \frac{ OI }{ OM } ​ON​​OK​​=​OM​​OI​​ est équivalente à :

OM×OK=OI×ON(2) OM \times OK = OI \times ON \quad \textbf{(2)} OM×OK=OI×ON(2)

Des égalités (1) et (2) on en déduit que :

OJ×OL=OI×ON OJ \times OL = OI \times ON OJ×OL=OI×ON

En divisant chaque membre de l'égalité par OL×ON OL \times ON OL×ON on en déduit que :

OJ×OLOL×ON=OI×ONOL×ON \frac{ OJ \times OL }{ OL \times ON } = \frac{ OI \times ON }{ OL \times ON } ​OL×ON​​OJ×OL​​=​OL×ON​​OI×ON​​

OJON=OIOL \frac{ OJ }{ ON } = \frac{ OI }{ OL } ​ON​​OJ​​=​OL​​OI​​

Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (NL) \left( NL \right) (NL) et (IJ) \left( IJ \right) (IJ) sont parallèles.

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Cours

  • Théorème de Thalès

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Méthodes

  • Calculer des longueurs avec le théorème de Thalès
  • Déterminer si deux droites sont parallèles (Thalès)

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