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Théorème de Thalès Exercices

Théorème de Thalès et projections orthogonales

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Théorème de Thalès et projections orthogonales : deux droites sécantes en O avec projections orthogonales I, J, K, L, M, N

$ \mathscr{D} $ et $ \mathscr{D^{\prime}} $ sont deux droites sécantes en $ O $.
$ I $ est un point quelconque de $ \mathscr{D} $ et $ J $ un point quelconque de $ \mathscr{D^{\prime}}. $

$ K $ est la projection orthogonale de $ I $ sur $ \mathscr{D^{\prime}} $
(cela signifie que $ K \in \mathscr{D^{\prime}} $ et que les droites $ \left( IK \right) $ et $ \mathscr{D^{\prime}} $ sont perpendiculaires.)
$ L $ est la projection orthogonale de $ K $ sur $ \mathscr{D} $
$ M $ est la projection orthogonale de $ J $ sur $ \mathscr{D} $
$ N $ est la projection orthogonale de $ M $ sur $ \mathscr{D^{\prime}}. $

Démontrer que les droites $ \left( IJ \right) $ et $ \left( LN \right) $ sont parallèles.

Corrigé

Les droites $ \left( JM \right) $ et $ \left( KL \right) $ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $ \mathscr{D} $, donc, elles sont parallèles entre elles.

Par ailleurs, les points $ O, N, K $ sont alignés ainsi que les points $ O, L, M $ ;
par conséquent, d'après le théorème de Thalès :

$ \dfrac{ OJ }{ OK } = \dfrac{ OM }{ OL } = \dfrac{ JM }{ KL } $

L'égalité $ \dfrac{ OJ }{ OK } = \dfrac{ OM }{ OL } $ est équivalente à :

$ OM \times OK = OJ \times OL \quad \textbf{(1)} $

De même, les droites $ \left( IK \right) $ et $ \left( NM \right) $ sont parallèles puisqu'elles sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $ \mathscr{D^{\prime}} $.

Les points $ O, I, M $ sont alignés sur $ \mathscr{D} $ et les points $ O, K, N $ sont alignés sur $ \mathscr{D^{\prime}} $ ;

donc, d'après le théorème de Thalès :

$ \dfrac{ OK }{ ON } = \dfrac{ OI }{ OM } = \dfrac{ IK }{ NM } $

L'égalité $ \dfrac{ OK }{ ON } = \dfrac{ OI }{ OM } $ est équivalente à :

$ OM \times OK = OI \times ON \quad \textbf{(2)} $

Des égalités (1) et (2) on en déduit que :

$ OJ \times OL = OI \times ON $

En divisant chaque membre de l'égalité par $ OL \times ON $ on en déduit que :

$ \dfrac{ OJ \times OL }{ OL \times ON } = \dfrac{ OI \times ON }{ OL \times ON } $

$ \dfrac{ OJ }{ ON } = \dfrac{ OI }{ OL } $

Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $ \left( NL \right) $ et $ \left( IJ \right) $ sont parallèles.

Pour réviser : Déterminer si deux droites sont parallèles (Thalès)