Théorème de Thalès et projections orthogonales
et sont deux droites sécantes en .
est un point quelconque de et un point quelconque de
est la projection orthogonale de sur
(cela signifie que et que les droites et sont perpendiculaires.)
est la projection orthogonale de sur
est la projection orthogonale de sur
est la projection orthogonale de sur
Démontrer que les droites et sont parallèles.
Corrigé
Les droites et sont toutes les deux perpendiculaires à la droite , donc, elles sont parallèles entre elles.
Par ailleurs, les points sont alignés ainsi que les points ;
par conséquent, d'après le théorème de Thalès :
L'égalité est équivalente à :
De même, les droites et sont parallèles puisqu'elles sont toutes les deux perpendiculaires à la droite .
Les points et sont alignés ;
donc, d'après le théorème de Thalès :
L'égalité est équivalente à :
Des égalités (1) et (2) on en déduit que :
En divisant chaque membre de l'égalité par on en déduit que :
Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites et sont parallèles.