Théorème de Thalès et projections orthogonales

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$\text{[math]}$

$\mathscr{D}$ et $\mathscr{D ^{\prime}}$ sont deux droites sécantes en $O$ .
$I$ est un point quelconque de $\mathscr{D}$ et $J$ un point quelconque de $\mathscr{D ^{\prime}}.$

$K$ est la projection orthogonale de $I$ sur $\mathscr{D ^{\prime}}$
(cela signifie que $K \in \mathscr{D ^{\prime}}$ et que les droites $\left( IJ \right)$ et $\mathscr{D ^{\prime}}$ sont perpendiculaires.)
$L$ est la projection orthogonale de $K$ sur $\mathscr{D}$
$M$ est la projection orthogonale de $J$ sur $\mathscr{D}$
$N$ est la projection orthogonale de $M$ sur $\mathscr{D ^{\prime}}.$

Démontrer que les droites $\left( IJ \right)$ et $\left( LN \right)$ sont parallèles.

Corrigé

Les droites

\left( JM \right)

\left( KL \right)

sont toutes les deux perpendiculaires à la droite

\mathscr{D}

, donc, elles sont parallèles entre elles.

Par ailleurs, les points $O, N, K$ sont alignés ainsi que les points $O, L, M$ ;
par conséquent, d'après le théorème de Thalès :

$\frac{ OJ }{ OK } = \frac{ OM }{ OL } = \frac{ JM }{ KL }$

L'égalité $\frac{ OJ }{ OK } = \frac{ OM }{ OL }$ est équivalente à :

$OM \times OK = OJ \times OL \quad \textbf{(1)}$

De même, les droites $\left( IK \right)$ et $\left( NM \right)$ sont parallèles puisqu'elles sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $\mathscr{D ^{\prime}}$ .

Les points $O, M, K$ et $O, M, I$ sont alignés ;

donc, d'après le théorème de Thalès :

$\frac{ OK }{ ON } = \frac{ OI }{ OM } = \frac{ IK }{ NM }$

L'égalité $\frac{ OK }{ ON } = \frac{ OI }{ OM }$ est équivalente à :

$OM \times OK = OI \times ON \quad \textbf{(2)}$

Des égalités (1) et (2) on en déduit que :

$OJ \times OL = OI \times ON$

En divisant chaque membre de l'égalité par $OL \times ON$ on en déduit que :

$\frac{ OJ \times OL }{ OL \times ON } = \frac{ OI \times ON }{ OL \times ON }$

$\frac{ OJ }{ ON } = \frac{ OI }{ OL }$

Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $\left( NL \right)$ et $\left( IJ \right)$ sont parallèles.

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