Les triangles $IAB$ et $INM$ sont en situation de Thalès ; en effet :

• les points $I$, $N$ et $A$ sont alignés

• les points $I$, $M$ et $B$ sont alignés

• les droites $\left( MN \right)$ et $\left( AB \right)$ sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès, on a donc :

$\frac{ NM }{ AB } = \frac{ NI }{ AI } = \frac{ MI }{ BI } .$

(Le troisième rapport $\frac{ MI }{ BI }$ sera inutile pour cet exercice.)

De même, les triangles $ANM$ et $ACD$ sont en situation de Thalès car :

• les points $D$, $N$ et $A$ sont alignés

• les points $C$, $M$ et $A$ sont alignés

• les droites $\left( MN \right)$ et $\left( DC \right)$ sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès :

$\frac{ NM }{ DC } = \frac{ AN }{ AD } = \frac{ AM }{ AC }$

Comme $ABCD$ est un parallélogramme, $AB=DC$ donc $\frac{ NM }{ AB } = \frac{ NM }{ DC }$ et donc les rapports des questions 1. et 2. sont tous égaux.

En particulier :

$\frac{ NI }{ AI } = \frac{ AN }{ AD }.$

Application numérique :
Posons $NI = x.$

Alors:
$AI=AN+NI=x+2$

D'après la question précédente, on a donc :

$\frac{ x }{ x+2 } = \frac{ 2 }{ 6 }$

En effectuant le produit en croix cette équation s'écrit:

$6x=2 \left( x+2 \right)$
$6x=2x+4$
$6x - 2x=4$
$4x=4$
$x=1$

La longueur $NI$ mesure donc 1 cm.

La position du point $I$ reste inchangée lorsque l'on modifie la position du point $B$ (à partir du moment où $ABCD$ est un parallélogramme et où l'on suit les consignes de l'énoncé. ).
On peut d'ailleurs vérifier ce résultat à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique comme geogebra.

En effet, le résultat de la question 3. montre que la distance $NI$ ne dépend que de la position de $A$, $N$ et $D$ et ne dépend ni de la distance $AB$ ni de la mesure de l'angle $\widehat{ DAB } .$