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Troisième

difficileExercice corrigé

Théorème de Thalès et parallélogramme

Sur la figure ci-dessous, ABCD ABCD ABCD est un parallélogramme. N NN est un point du côté [AD]. \left[ AD \right] . [AD].

La parallèle à la droite (AB) \left( AB \right) (AB) passant par NNN coupe la diagonale [AC] \left[ AC \right] [AC] en MMM.

Enfin, la droite (BM) \left( BM \right) (BM) coupe la droite (AD) \left( AD \right) (AD) en III.

géométrie

  1. Montrer que :

    NMAB=NIAI \frac{ NM }{ AB } = \frac{ NI }{ AI } ​AB​​NM​​=​AI​​NI​​

  2. Montrer que :

    NMDC=ANAD \frac{ NM }{ DC } = \frac{ AN }{ AD } ​DC​​NM​​=​AD​​AN​​

  3. En déduire que :

    NIAI=ANAD. \frac{ NI }{ AI } = \frac{ AN }{ AD }.​AI​​NI​​=​AD​​AN​​.

  4. Application numérique :
    Calculer la longueur NI NI NI sachant que AN=2 AN = 2 AN=2 cm et AD=6 AD = 6 AD=6 cm.

  5. (Question subsidiaire) Que peut-on dire de la position du point III lorsque l'on modifie la position du point BBB ?

Corrigé

  1. Les triangles IAB IAB IAB et INM INM INM sont en situation de Thalès ; en effet :

    • les points III, NNN et AAA sont alignés

    • les points I I I, MMM et B B B sont alignés

    • les droites (MN) \left( MN \right) (MN) et (AB) \left( AB \right) (AB) sont parallèles.

    D'après le théorème de Thalès, on a donc :

    NMAB=NIAI=MIBI. \frac{ NM }{ AB } = \frac{ NI }{ AI } = \frac{ MI }{ BI } . ​AB​​NM​​=​AI​​NI​​=​BI​​MI​​.

    (Le troisième rapport MIBI \frac{ MI }{ BI } ​BI​​MI​​ sera inutile pour cet exercice.)

  2. De même, les triangles ANM ANM ANM et ACD ACD ACD sont en situation de Thalès car :

    • les points DDD, NNN et AAA sont alignés

    • les points C CC, MMM et A A A sont alignés

    • les droites (MN) \left( MN \right) (MN) et (DC) \left( DC \right) (DC) sont parallèles.

    D'après le théorème de Thalès :

    NMDC=ANAD=AMAC \frac{ NM }{ DC } = \frac{ AN }{ AD } = \frac{ AM }{ AC } ​DC​​NM​​=​AD​​AN​​=​AC​​AM​​

  3. Comme ABCD ABCD ABCD est un parallélogramme, AB=DC AB=DC AB=DC donc NMAB=NMDC \frac{ NM }{ AB } = \frac{ NM }{ DC } ​AB​​NM​​=​DC​​NM​​ et donc les rapports des questions 1. et 2. sont tous égaux.

    En particulier :

    NIAI=ANAD. \frac{ NI }{ AI } = \frac{ AN }{ AD }.​AI​​NI​​=​AD​​AN​​.

  4. Application numérique :
    Posons NI=x. NI = x. NI=x.

    Alors:
    AI=AN+NI=x+2 AI=AN+NI=x+2 AI=AN+NI=x+2

    D'après la question précédente, on a donc :

    xx+2=26 \frac{ x }{ x+2 } = \frac{ 2 }{ 6 } ​x+2​​x​​=​6​​2​​

    En effectuant le produit en croix cette équation s'écrit:

    6x=2(x+2) 6x=2 \left( x+2 \right) 6x=2(x+2)
    6x=2x+4 6x=2x+4 6x=2x+4
    6x−2x=4 6x-2x=4 6x−2x=4
    4x=44x=4 4x=4
    x=1 x=1 x=1

    La longueur NI NI NI mesure donc 1 cm.

  5. La position du point I II reste inchangée lorsque l'on modifie la position du point B B B (à partir du moment où ABCD ABCD ABCD est un parallélogramme et où l'on suit les consignes de l'énoncé. ).
    On peut d'ailleurs vérifier ce résultat à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique comme geogebra.

    En effet, le résultat de la question 3. montre que la distance NI NI NI ne dépend que de la position de AAA, NNN et DDD et ne dépend ni de la distance AB AB AB ni de la mesure de l'angle DAB^. \widehat{ DAB } . ​DAB​​​.

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Cours

  • Théorème de Thalès

Exercices

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Méthodes

  • Calculer des longueurs avec le théorème de Thalès
  • Déterminer si deux droites sont parallèles (Thalès)

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