Exercice corrigéDans la figure ci-dessous, les points A, O, D sont alignés ainsi que les points B, O, C.
B appartient au cercle de diamètre [AO] et C appartient au cercle de diamètre [DO].
On donne :
AO=8cm
OD=5cm
DC=3cm.
Montrer que le triangle ABO est rectangle en B et que le triangle ABO est rectangle en C.
Justifier que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Calculer la longueur AB.
Corrigé
On utilise la propriété suivante :
Rappel
Si [BC] est un diamètre d'un cercle et A un point de ce cercle (distinct de B et de C), alors le triangle ABC est rectangle en A.
Le côté [AO] est un diamètre du cercle circonscrit au triangle ABO, donc le triangle ABO est rectangle en B.
De même, le côté [DO] est un diamètre du cercle circonscrit au triangle OCD, donc le triangle OCD est rectangle en C.D'après la question précédente, les droites (AB) et (CD) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (AD) ; elles sont donc parallèles entre elles.
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles et les points A, O, D sont alignés de même que les points B, O, C ; les triangles ABO et OCD forment alors une configuration de Thalès.
On a donc, d'après le théorème de Thalès :\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{AO}{OD}
\dfrac{AB}{3}=\dfrac{8}{5}
Par conséquent :
AB=\dfrac{3 \times 8}{5}=4,8.
Le côté AB mesure 4,8cm.
