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Troisième

moyenExercice corrigé

Théorème de Thalès et cercles

Dans la figure ci-dessous, les points A,O,DA, O, DA,O,D sont alignés ainsi que les points B,O,CB, O, CB,O,C.

BBB appartient au cercle de diamètre [AO][AO][AO] et CCC appartient au cercle de diamètre [DO][DO][DO].

On donne :

AO=8AO=8AO=8cm

OD=5OD=5OD=5cm

DC=3DC=3DC=3cm.

  1. Montrer que le triangle ABOABOABO est rectangle en BBB et que le triangle OCDOCDOCD est rectangle en CCC.

  2. Justifier que les droites (AB)(AB)(AB) et (CD)(CD)(CD) sont parallèles.

  3. Calculer la longueur ABABAB.

Corrigé

  1. On utilise la propriété suivante :

    Rappel

    Si [BC][BC][BC] est un diamètre d'un cercle et AAA un point de ce cercle (distinct de BBB et de CCC), alors le triangle ABCABCABC est rectangle en AAA.

    Le côté [AO][AO][AO] est un diamètre du cercle circonscrit au triangle ABOABOABO, donc le triangle ABOABOABO est rectangle en BBB.

    De même, le côté [DO][DO][DO] est un diamètre du cercle circonscrit au triangle OCDOCDOCD, donc le triangle OCDOCDOCD est rectangle en CCC.

  2. D'après la question précédente, les droites (AB)(AB)(AB) et (CD)(CD)(CD) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (AD)(AD)(AD) ; elles sont donc parallèles entre elles.

  3. Les droites (AB)(AB)(AB) et (CD)(CD)(CD) sont parallèles et les points A,O,DA, O, DA,O,D sont alignés de même que les points B,O,CB, O, CB,O,C ; les triangles ABOABOABO et OCDOCDOCD forment alors une configuration de Thalès.

    On a donc, d'après le théorème de Thalès :

    ABCD=AOOD\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{AO}{OD}​CD​​AB​​=​OD​​AO​​

    AB3=85\dfrac{AB}{3}=\dfrac{8}{5}​3​​AB​​=​5​​8​​

    Par conséquent :

    AB=3×85=4,8.AB=\dfrac{3 \times 8}{5}=4,8.AB=​5​​3×8​​=4,8.

    Le côté ABABAB mesure 4,84,84,8cm.

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Dans ce chapitre...

Cours

  • Théorème de Thalès

Exercices

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Méthodes

  • Calculer des longueurs avec le théorème de Thalès
  • Déterminer si deux droites sont parallèles (Thalès)

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