Exercice 3

Commun à tous les candidats

Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.

1. Le joueur lance une fléchette.

   On note $p_{0}$ la probabilité d'obtenir 0 point.

   On note $p_{3}$ la probabilité d'obtenir 3 points.

   On note $p_{5}$ la probabilité d'obtenir 5 points.

   On a donc $p_{0}+p_{3}+p_{5}=1$.
   Sachant que $p_{5}=\frac{1}{2}p_{3}$ et que $p_{5}=\frac{1}{3}p_{0}$ déterminer les valeurs de $p_{0}$, $p_{3}$ et $p_{5}$·

2. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.

   On note $G_{2}$ l'évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».

   On note $G_{3}$ l'évènement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».

   On note $P$ l'évènement : « le joueur perd la partie ».

   On note $p\left(A\right)$ la probabilité d'un évènement $A$.

   1. Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que $p\left(G_{2}\right)=\frac{5}{36}$.

      On admettra dans la suite que $p\left(G_{3}\right)=\frac{7}{36}$

   2. En déduire $p \left(P\right)$.

3. Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ?

4. Pour une partie, la mise est fixée à 2 €.

   Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 €. S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3 €. S'il perd, il ne reçoit rien.

   On note $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour $X$ sont donc : $- 2, 1$ et $3$.

   1. Donner la loi de probabilité de $X$.

   2. Déterminer l'espérance mathématique de $X$. Le jeu est-il favorable au joueur ?