Partie A

1. $g$ est dérivable sur $\left[0;+ \infty \right[$ et :

   $g^{\prime}\left(x\right) = \text{e}^{x} - 1$.

   Pour $x \geqslant 0$, $e^{x} \geqslant 1$ donc $g^{\prime}\left(x\right) \geqslant 0$

   La fonction $g$ est croissante sur $\left[0;+ \infty \right[$.

2. $g\left(0\right) = 1 - 0 - 1 = 0$.

   Or, la fonction $g$ est croissante sur $\left[0;+ \infty \right[$, donc pour tout $x\in \left[0;+ \infty \right[$ : $g\left(x\right) \geqslant g\left(0\right) = 0$.

   La fonction $g$ est positive ou nulle sur $\left[0;+ \infty \right[$.

3. Sur $\left[0;+ \infty \right[$, $g\left(x\right) \geqslant 0$ donc:

   $\text{e}^{x} - x - 1 > 0$

   $\text{e}^{x} - x > 1$.

Partie B

1. $f\left(0\right) = \frac{1 - 1}{1} = 0$

   $f\left(1\right) = \frac{\text{e} - 1}{\text{e} - 1} = 1$.

   La fonction $f$ est croissante sur $\left[0;1\right]$ donc :

   $f\left(0\right) \leqslant f\left(x\right) \leqslant f\left(1\right)$

   c'est à dire :

   $0 \leqslant f\left(x\right) \leqslant 1$.

2. 1. $f\left(x\right) - x = \frac{\text{e}^{x} - 1}{\text{e}^{x} - x} - x = \frac{\text{e}^{x} - 1 - x\text{e}^{x} + x^{2}}{\text{e}^{x} - x} = \frac{\text{e}^{x}\left(1 - x\right) + x^{2} - 1}{\text{e}^{x} - x}$$=\frac{\text{e}^{x}\left(1 - x\right) - \left(1 - x^{2}\right)}{\text{e}^{x} - x}=\frac{\text{e}^{x}\left(1 - x\right) - \left(x + 1\right)\left(1 - x\right)}{\text{e}^{x} - x} = \frac{\left(1 - x\right)\left(\text{e}^{x} - x - 1\right)}{\text{e}^{x} - x}$$= \frac{\left(1 - x\right)g\left(x\right)}{\text{e}^{x} - x}$.

   2. On étudie le signe de $f\left(x\right) - x$ sur $\left[0;1\right]$. Sur cet intervalle :

      $g\left(x\right) \geqslant 0$ (d'après A-2)

      $\text{e}^{x} - x \geqslant 1 > 0$ (d'après A-3)

      $1 - x > 0$

      Donc $f\left(x\right) - x \geqslant 0$. La courbe $\left(C\right)$ est au dessus de la droite $\left(D\right)$.

3. 1. $f$ est du type $\frac{u^{\prime}}{u}$ où $u$ est la fonction définie par $u\left(x\right) = \text{e}^{x} - x$

      Comme $u\left(x\right) = \text{e}^{x} - x \geqslant 1 > 0$, la fonction $F$ définie par $F\left(x\right) = \ln \left(u\left(x\right)\right) = \ln \left(\text{e}^{x} - x\right)$ est une primitive de $f$ sur $\left[0;1\right]$

   2. Sur [0;1], la courbe $\left(\left(C\right)\right)$ est au dessus de la droite $\left(D\right)$ d'après 2-b.

      L'aire, du domaine délimité par la courbe $\left(\left(C\right)\right)$, la droite $\left(D\right)$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ est donc égale à :

      $\int_{0}^{1} \left(f\left(x\right) - x\right)\text{d}x = \left[F\left(x\right) - \frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = F\left(1\right) - \frac{1}{2} - F\left(0\right)$$= \ln \left(\text{e}^{1} - 1\right) - \frac{1}{2} - \ln \left(\text{e}^{0} - 0\right) =\ln \left(\text{e} - 1\right) - \frac{1}{2}$.(en unités d'aire)

Partie C

1. 

2. À terminer ...