Une solution peut être trouvée avec l'algorithme d'Euclide. Ici, elle est évidente:

$x_{0}= - 2\ ;\ y_{0}=1$

$23x+47y=1 \Leftrightarrow 23x+47y=23\times \left( - 2\right)+47\times 1$

On obtient :

$23\left(x+2\right)=47\left(1 - y\right)$

23 et 47 sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss 47 divise $x+2$

En posant $x+2=47k\ ;\ k\in \mathbb{Z}$ on trouve que les solutions sont de la forme :

$\left( - 2+47k;1 - 23k\right)\ ;\ k\in \mathbb{Z}$ Réciproquement, vérifiez que ces couples sont bien solutions !

$23x\equiv 1 \ \left(47\right)$ si et seulement si il existe un entier relatif $y$ tel que:

$23x+47y=1$

On montre à partir du b. qu'il existe une unique solution pour laquelle $x$ est compris entre 1 et 46 (on peut partir de l'encadrement $1\leqslant x\leqslant 46$ pour trouver un encadrement de $k$)

Elle correspond à $k=1$ et donc $x=45$

$ab\equiv 0\ \left(47\right)$ signifie que 47 divise ab.

On applique alors le théorème de Gauss et on arrive rapidement au résultat demandé.

$a^{2}\equiv 1 \ \left(47\right) \Leftrightarrow \left(a - 1\right)\left(a+1\right)\equiv 0 \ \left(47\right)$

Il suffit alors d'appliquer les résultats de la question précédente

Comme $1\leqslant p\leqslant 46$, $p$ et 47 sont premiers entre eux; on peut alors appliquer le théorème de Bézout qui mène directement au résultat recherché.

$p=\text{inv}\left(p\right) \Leftrightarrow p^{2}=1$

On applique le résultat de 2.b. et compte tenu du fait que $p\in A$ on trouve

$p=1$ ou $p=46$

$46! = 1\times 2\times 3. . . \times 46$.

A l'exception de 1 et de 46, on peut regrouper les 44 facteurs restants en 22 paires d'entiers "inverses" l'un de l'autre dont le produit vaut 1.

On a donc:

$46! \equiv 1\times 46\equiv - 1\ \left(47\right)$