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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Durée de vie d'un ordinateur - Bac S Amérique du Nord 2011

Exercice 2

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Une salle informatique d'un établissement scolaire est équipée de 25 ordinateurs dont 3 sont défectueux. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d'être choisis.

On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle.
Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ?

Partie B

La durée de vie d'un ordinateur (c'est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire XX qui suit une loi exponentielle de paramètre λ\lambda avec λ>0\lambda > 0.

Ainsi, pour tout réel tt positif, la probabilité qu'un ordinateur ait une durée de vie inférieure à tt années, notée p(X⩽t)p\left(X \leqslant t\right), est donnée par : p(X⩽t)=∫0tλe−λxdxp\left(X \leqslant t\right) = \int_{0}^{t} \lambda \text{e}^{ - \lambda x}\text{d}x.

  1. Déterminer λ\lambda sachant que p(X>5)=0,4p\left(X > 5\right) = 0,4.

  2. Dans cette question, on prendra λ=0,18\lambda = 0,18.
    Sachant qu'un ordinateur n'a pas eu de panne au cours des 3 premières années, quelle est, à 10−310^{ - 3} près, la probabilité qu'il ait une durée de vie supérieure à 5 ans ?

  3. Dans cette question, on admet que la durée de vie d'un ordinateur est indépendante de celle des autres et que p(X>5)=0,4p\left(X > 5\right) = 0,4.

    1. On considère un lot de 10 ordinateurs.
      Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l'un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? On donnera une valeur arrondie au millième de cette probabilité.

    2. Quel nombre minimal d'ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de l'évènement " l'un au moins d'entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans " soit supérieure à 0,999 ?

Corrigé

Partie A

Les ordinateurs étant choisis au hasard, les différents choix sont équiprobables. Le nombre de choix possibles est (252)=300\begin{pmatrix} 25 \\ 2 \end{pmatrix}=300.

Le nombre de choix comprenant deux ordinateurs défectueux est (32)=3\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}=3.

La probabilité recherchée est donc :

p=3300=0,01p=\frac{3}{300}=0,01.

Partie B

  1. Pour une loi exponentielle de paramètre λ\lambda :

    p(X⩽t)=∫0tλe−λxdx=1−e−λtp\left(X \leqslant t\right) = \int_{0}^{t} \lambda e^{ - \lambda x}dx=1 - e^{ - \lambda t}

    et :

    p(X>t)=1−p(X⩽t)=e−λtp\left(X > t\right)=1 - p\left(X \leqslant t\right)=e^{ - \lambda t}

    On a donc ici :

    p(X>5)=e−5λp\left(X > 5\right)=e^{ - 5\lambda }

    Cette probabilité est égale à 0,4 si et seulement si :

    e−5λ=0,4e^{ - 5\lambda }=0,4

    −5λ=ln0,4 - 5\lambda =\ln0,4

    λ=−ln0,45\lambda = - \frac{\ln0,4}{5}

    λ≈0,18\lambda \approx 0,18

  2. La probabilité demandée est :

    pX>3(X>5)=p((X>3)∩(X>5))p(X>3)=p(X>5)p(X>3)=e−5λe−3λ=e−2λ≈0,698p_{X > 3}\left(X > 5\right)=\frac{p\left(\left(X > 3\right) \cap \left(X > 5\right)\right)}{p\left(X > 3\right)}=\frac{p\left(X > 5\right)}{p\left(X > 3\right)}=\frac{e^{ - 5\lambda }}{e^{ - 3\lambda }}=e^{ - 2\lambda }\approx 0,698

    1. On a affaire à une loi binomiale de paramètres n=10n=10 et p=0,4p=0,4.

      La probabilité qu'aucun ordinateur n'ait une durée de vie supérieure à 5 ans est donc 0,6100,6^{10}.

      La probabilité qu'un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans est donc :

      1−0,610≈0,9941 - 0,6^{10}\approx 0,994.

    2. Soit nn le nombre d'ordinateurs cherché. On doit résoudre l'inéquation :

      1−0,6n⩾0,9991 - 0,6^{n}\geqslant 0,999

      −0,6n⩾−0,001 - 0,6^{n}\geqslant - 0,001

      0,6n⩽0,0010,6^{n}\leqslant 0,001

      La fonction ln\ln étant strictement croissante :

      ln0,6n⩽ln0,001\ln0,6^{n}\leqslant \ln0,001

      nln0,6⩽ln0,001n\ln0,6\leqslant \ln0,001

      Comme ln0,6\ln0,6 est strictement négatif :

      n⩾ln0,001ln0,6n\geqslant \frac{\ln0,001}{\ln0,6}

      Or ln0,001ln0,6≈13,5\frac{\ln0,001}{\ln0,6}\approx 13,5. Donc le nombre d'ordinateurs cherché est 14.

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