Partie A

Comme $a+b+c\neq 0$ le barycentre $G$ de $A$, $B$, $C$ existe et vérifie la relation :

$a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

D'après la relation de Chasles :

$a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=a\overrightarrow{MG}+a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{MG}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{MG}+c\overrightarrow{GC}=\left(a+b+c\right)\overrightarrow{MG}$

L'ensemble cherché est donc l'ensemble des points $M$ tel que :

$|a+b+c|MG=k$

C'est-à-dire $MG=\frac{k}{|a+b+c|}$

C'est donc la sphère de centre G et de rayon $\frac{k}{|a+b+c|}$.

Partie B

1. Il suffit de montrer que $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\left(BCE\right)$. Or :

   $\overrightarrow{BC}\left(0;1;0\right)$ et $\overrightarrow{BE}\left( - 1;0;1\right)$

   Donc :

   $\vec{n}.\overrightarrow{BC}=0$ et $\vec{n}.\overrightarrow{BE}=0$.

2. D'après la question précédente le plan $\left(BCE\right)$ admet une équation de la forme :

   $1x+0y+1z+d=0$

   $B$ appartient à ce plan donc :

   $1+d=0$ soit $d= - 1$.

   L'équation du plan $\left(BCE\right)$ est donc :

   $x+z - 1=0$.

3. La droite $\left(\Delta \right)$ est orthogonale à $\left(BCE\right)$ donc admet $\vec{n}$ comme vecteur directeur. Elle passe par $E\left(0;0;1\right)$.

   Une représentation paramétrique de $\left(\Delta \right)$ est donc :

   $\left\{ \begin{matrix} x=t \\ y=0 \\ z=t+1 \end{matrix}\right.$

   Où $t$ parcourt $\mathbb{R}$.

4. Le plan $\left(ABC\right)$ a pour équation $z=0$.

   Le point $R\left(x;y;z\right)$ appartient à l'intersection de $\left(ABC\right)$ et de $\left(\Delta \right)$ si et seulement si ses coordonnées vérifient le système :

   $\left\{ \begin{matrix} x=t \\ y=0 \\ z=t+1;z=0 \end{matrix}\right.$

   Qui est équivalent à :

   $\left\{ \begin{matrix} x= - 1 \\ y=0 \\ z=0;t= - 1 \end{matrix}\right.$

   Donc $\left(\Delta \right)$ est sécante au plan $\left(ABC\right)$ au point $R\left( - 1 ;0 ;0\right)$.

   Les coordonnées de $R$ étant les opposées des coordonnées de $B$, $R$ est le symétrique de $B$ par rapport à l'origine $A$.

5. 1. Le barycentre recherché a pour coordonnées $\left(\frac{ - 1 - 1+2}{2};\frac{2}{2};0\right)$ c'est-à-dire $\left(0;1;0\right)$.

      C'est donc le point $D$.

   2. D'après la partie A, l'ensemble $\left(S\right)$ est la sphère de centre $D$ et de rayon $\sqrt{2}$.

   3. On calcule facilement :

      $DB=\sqrt{2}$

      $DE=\sqrt{2}$

      $DG=\sqrt{2}$

      Donc les points $D$, $E$ et $G$ appartiennent à la sphère $\left(S\right)$.

   4. L'intersection d'une sphère et d'un plan est soit un cercle, soit un point, soit l'ensemble vide. Comme ici $B$ et $E$ appartiennent à cette intersection, cet ensemble est nécessairement un cercle.

      La distance du centre de la sphère au plan $\left(BCE\right)$ est :

      $d=\frac{|0+0 - 1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

      D'après le théorème de Pythagore le rayon $r$ de ce cercle est :

      $r^{2}=R^{2} - d^{2}$

      Où $R$ est le rayon de la sphère. Donc :

      $r^{2}=2 - \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

      Et finalement $r=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.