Géométrie dans l'espace Barycentres - Bac S Amérique du Nord 2011
Exercice 3
Partie A : Restitution organisée de connaissances
On considère trois points A, B et C de l'espace et trois réels a, b et c de somme non nulle.
Démontrer que, pour tout réel k strictement positif, l'ensemble des points M de l'espace tels que ∣∣aMA+bMB+cMC∣∣=k est une sphère dont le centre est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients respectifs a, b et c.
Partie B
On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1 représenté ci-dessous.
Il n'est pas demandé de rendre le graphique avec la copie.
L'espace est rapporté au repère orthonormal (A;AB,AD,AE).
Démontrer que le vecteur n⃗ de coordonnées (1;0;1) est un vecteur normal au plan (BCE).
Déterminer une équation du plan (BCE).
On note (Δ) la droite perpendiculaire en E au plan (BCE).
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ).
Démontrer que la droite (Δ) est sécante au plan (ABC) en un point R, symétrique de B par rapport à A.
Démontrer que le point D est le barycentre des points R, B et C affectés des coefficients respectifs 1, -1 et 2.
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble (S) des points M de l'espace tels que ∣∣MR−MB+2MC∣∣=2√2.
Démontrer que les points B, E et G appartiennent à l'ensemble (S).
Démontrer que l'intersection du plan (BCE) et de l'ensemble (S) est un cercle dont on précisera le rayon.
Partie A
Comme a+b+c≠0 le barycentre G de A, B, C existe et vérifie la relation :
aGA+bGB+cGC=0
D'après la relation de Chasles :
aMA+bMB+cMC=aMG+aGA+bMG+bGB+cMG+cGC=(a+b+c)MG
L'ensemble cherché est donc l'ensemble des points M tel que :
∣a+b+c∣MG=k
C'est-à-dire MG=∣a+b+c∣k
C'est donc la sphère de centre G et de rayon ∣a+b+c∣k.
Partie B
Il suffit de montrer que n⃗ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCE). Or :
BC(0;1;0) et BE(−1;0;1)
Donc :
n⃗.BC=0 et n⃗.BE=0.
D'après la question précédente le plan (BCE) admet une équation de la forme :
1x+0y+1z+d=0
B appartient à ce plan donc :
1+d=0 soit d=−1.
L'équation du plan (BCE) est donc :
x+z−1=0.
La droite (Δ) est orthogonale à (BCE) donc admet n⃗ comme vecteur directeur. Elle passe par E(0;0;1).
Une représentation paramétrique de (Δ) est donc :
⎩⎨⎧x=ty=0z=t+1
Où t parcourt R.
Le plan (ABC) a pour équation z=0.
Le point R(x;y;z) appartient à l'intersection de (ABC) et de (Δ) si et seulement si ses coordonnées vérifient le système :
⎩⎨⎧x=ty=0z=t+1;z=0
Qui est équivalent à :
⎩⎨⎧x=−1y=0z=0;t=−1
Donc (Δ) est sécante au plan (ABC) au point R(−1;0;0).
Les coordonnées de R étant les opposées des coordonnées de B, R est le symétrique de B par rapport à l'origine A.
Le barycentre recherché a pour coordonnées (2−1−1+2;22;0) c'est-à-dire (0;1;0).
C'est donc le point D.
D'après la partie A, l'ensemble (S) est la sphère de centre D et de rayon √2.
On calcule facilement :
DB=√2
DE=√2
DG=√2
Donc les points D, E et G appartiennent à la sphère (S).
L'intersection d'une sphère et d'un plan est soit un cercle, soit un point, soit l'ensemble vide. Comme ici B et E appartiennent à cette intersection, cet ensemble est nécessairement un cercle.
La distance du centre de la sphère au plan (BCE) est :
d=√12+12∣0+0−1∣=√21=2√2
D'après le théorème de Pythagore le rayon r de ce cercle est :
r2=R2−d2
Où R est le rayon de la sphère. Donc :
r2=2−21=23
Et finalement r=√23=2√6.
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