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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Nombres complexes et rotations - Bac S Amérique du Nord 2011

Exercice 1

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O,u⃗,v⃗)\left(O,\vec{u},\vec{v}\right).

On considère les points A et B d'affixes respectives : a=ia=\text{i} et b=1+ib=1+\text{i}.

On note : rAr_{\text{A}} la rotation de centre A, d'angle π2\frac{\pi }{2}, rBr_{\text{B}} la rotation de centre B, d'angle π2\frac{\pi }{2} et rOr_{\text{O}} la rotation de centre O, d'angle −π2 - \frac{\pi }{2}.

Partie A

On considère le point C d'affixe c=3ic=3\text{i}. On appelle D l'image de C par rAr_{\text{A}}, G l'image de D par rBr_{\text{B}} et H l'image de C par rOr_{\text{O}}.

On note d,gd, g et hh les affixes respectives des points D, G et H.

  1. Démontrer que d=−2+id= - 2+ \text{i}.

  2. Déterminer gg et hh.

  3. Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle.

Partie B

On considère un point M, distinct de O et de A, d'affixe mm. On appelle N l'image de M par rAr_{\text{A}}, P l'image de N par rBr_{\text{B}} et Q l'image de M par rOr_{\text{O}}.

On note n,pn, p et qq les affixes respectives des points N, P et Q.

  1. Montrer que n=im+1+in=\text{i}m+1+\text{i}. On admettra que p=−m+1+ip= - m+1+\text{i} et q=−imq= - \text{i}m.

  2. Montrer que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.

    1. Montrer l'égalité : m−np−n=i+1m\frac{m - n}{p - n}=\text{i} +\frac{1}{m}.

    2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Déterminer l'ensemble (Γ)\left(\Gamma \right) des points M tels que le quadrilatère MNPQ soit un rectangle.

Corrigé

Partie A

  1. L'écriture complexe de la rotation rAr_{A} est :

    z′−i=eiπ2(z−i)z^{\prime} - i=e^{i\frac{\pi }{2}}\left(z - i\right)

    C'est-à-dire :

    z′=i+i(z−i)=iz+1+iz^{\prime}=i+i\left(z - i\right)=iz+1+i

    D est l'image de C par la rotation rAr_{A} donc :

    d=i(3i)+1+i=−2+id=i\left(3i\right)+1+i= - 2+i

  2. De même, l'écriture complexe de la rotation rBr_{B} est :

    z′−(1+i)=eiπ2(z−1−i)z^{\prime} - \left(1+i\right)=e^{i\frac{\pi }{2}}\left(z - 1 - i\right)

    Soit :

    z′=1+i+i(z−1−i)=iz+2z^{\prime}=1+i+i\left(z - 1 - i\right)=iz+2

    Donc :

    g=i(−2+i)+2=1−2ig=i\left( - 2+i\right)+2=1 - 2i

    Enfin, l'écriture complexe de la rotation rOr_{O} est :

    z′=e−iπ2z=−izz^{\prime}=e^{ - i\frac{\pi }{2}}z= - iz

    Donc :

    h=−i(3i)=3h= - i\left(3i\right)=3

  3. L'affixe de CD→\overrightarrow{CD} est :

    d−c=−2+i−3i=−2−2id - c= - 2+i - 3i= - 2 - 2i

    L'affixe de HG→\overrightarrow{HG} est :

    g−h=1−2i−3=−2−2ig - h=1 - 2i - 3= - 2 - 2i

    Donc CD→=HG→\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{HG} et CDGH est un parallélogramme.

    Par ailleurs :

    CG=∣g−c∣=∣(1−2i)−3i∣=∣1−5i∣=26CG=|g - c|=|\left(1 - 2i\right) - 3i|=|1 - 5i|=\sqrt{26}

    DH=∣h−d∣=∣3−(−2+i)∣=∣5−i∣=26DH=|h - d|=|3 - \left( - 2+i\right)|=|5 - i|=\sqrt{26}

    Le parallélogramme CDGH a ses diagonales de même longueur ; c'est donc un rectangle.

Partie B

  1. N est l'image de M par la rotation rOr_{O} donc d'après la partie A :

    n=im+1+in=im+1+i

  2. Le vecteur MN→\overrightarrow{MN} a pour affixe :

    n−m=im+1+i−m=1−m+i(1+m)n - m=im+1+i - m=1 - m+i\left(1+m\right)

    De même le vecteur QP→\overrightarrow{QP} a pour affixe :

    p−q=−m+1+i−(−im)=1−m+i(1+m)p - q= - m+1+i - \left( - im\right)=1 - m+i\left(1+m\right)

    Donc MN→=QP→\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP} donc MNQP est un parallélogramme.

    1. m−np−n=m−(im+1+i)−m+1+i−(im+1+i)=m(1−i)+1+im(−i−1)\frac{m - n}{p - n}=\frac{m - \left(im+1+i\right)}{ - m+1+i - \left(im+1+i\right)}=\frac{m\left(1 - i\right)+1+i}{m\left( - i - 1\right)}

      On multiplie le numérateur et le dénominateur par i−1i - 1 (conjugué de −i−1 - i - 1) :

      m−np−n=[m(1−i)+1+i](i−1)m(−i−1)(i−1)=2mi+22m=i+1m\frac{m - n}{p - n}=\frac{\left[m\left(1 - i\right)+1+i\right]\left(i - 1\right)}{m\left( - i - 1\right)\left(i - 1\right)}=\frac{2mi+2}{2m}=i+\frac{1}{m}

    2. MNPQ est un rectangle si et seulement si l'angle (NP→,NM→)\left(\overrightarrow{NP},\overrightarrow{NM}\right) est un angle droit c'est-à-dire si et seulement si m−np−n\frac{m - n}{p - n} est un imaginaire pur.

      Comme m−np−n\frac{m - n}{p - n} est égal à i+1mi+\frac{1}{m} cette condition équivaut à 1m\frac{1}{m} donc mm est un imaginaire pur (avec, de plus, d'après l'énoncé m≠0m\neq 0 et m≠im\neq i car M est distinct de O et de A).

      L'ensemble (Γ)\left(\Gamma \right) cherché est donc l'axe des ordonnées privé des points O et A.

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