En préfixant un nombre par des zéros ( par exemple 301 = 000301 ), on peut considérer que les entiers naturels inférieurs à 1 000 000 sont les entiers de six chiffres.

Pour que la somme des chiffres soit égal à 4, on a les possibilités suivantes :

• 4 chiffres « $1$ » (et 2 chiffres « $0$ ») ce qui donne $\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} = 15$ possibilités ;

• 2 chiffres « $1$ », 1 chiffre « $2$ » (et 3 chiffres « $0$ ») ce qui donne $\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} = 15$ possibilités pour le chiffre « $1$ » et 4 possibilités pour le chiffre « $2$ » (car il ne reste plus que 4 positions une fois que les 2 chiffres « $1$ » ont été placés), soit au total $15 \times 4 = 60$ possibilités ;

• 2 chiffres « $2$ » (et 4 chiffres « $0$ ») ce qui donne $\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} = 15$ possibilités ;

• 1 chiffre « $1$ », 1 chiffre « $3$ » (et 4 chiffres « $0$ ») ce qui donne $6 \times 5 = 30$ possibilités ;

• 1 chiffre « $4$ » (et 5 chiffres « $0$ ») ce qui donne 6 possibilités .

  Au total, le nombre d'entiers naturels inférieurs à 1 000 000 dont la somme des chiffres est égale à 4 est ;

  $15 + 60 + 15 + 30 + 6= 126.$

  Remarque  : On peut retrouver ce résultat en utilisant l'exercice Combinaisons avec répétition ; on est en effet amené à chercher les solutions entières et positives de l'équation $x+y+z+t+u+v = 4$ qui d'après cet exercice est : $\begin{pmatrix} 9 \\ 4 \end{pmatrix} = 126.$

Voici un exemple de programme Python assez simple qui répond au problème en bouclant sur les six chiffres :

compteur = 0
for i_1 in range(0,5) :
    for i_2 in range(0,5) :
        for i_3 in range(0,5) :
            for i_4 in range(0,5) :
                for i_5 in range(0,5) :
                    for i_6 in range(0,5) :
                        if ( i_1 + i_2 + i_3 + i_4 + i_5 + i_6 == 4) :
                            compteur = compteur + 1
print('total : ', compteur)

Aucun chiffre ne pouvant être strictement supérieur à 4, on a limité les boucles à un range(0, 5) pour optimiser le programme (il est possible d'optimiser davantage mais on obtient alors un programme plus complexe).