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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Propriétés des combinaisons

nn et pp désignent deux entiers naturels tels que p⩽n p \leqslant n .
À partir de la formule (np)=n!p!(n−p)! \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} = \dfrac{ n! }{ p!(n - p)! }  :

  1. Montrer que (np)=(nn−p) \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n - p \end{pmatrix}

  2. Montrer que (n−1p−1)+(n−1p)=(np) \begin{pmatrix} n - 1 \\ p - 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n - 1 \\ p \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}

  3. Montrer que (np)=np×(n−1p−1) \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}= \dfrac{ n }{ p } \times \begin{pmatrix} n - 1 \\ p - 1 \end{pmatrix}

Corrigé

  1. D'après la formule (np)=n!p!(n−p)! \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} = \dfrac{ n! }{ p!(n - p)! }  :

    (nn−p)=n!(n−p)!(n−(n−p))!=n!(n−p)! p!=(np) \begin{aligned}\begin{pmatrix} n \\ n - p \end{pmatrix} &=\dfrac{n!}{\left( n - p\right) !\left( n - \left( n - p\right) \right) !}\\ \\ &=\dfrac{n!}{\left( n - p\right)!\ p!}\\ \\ &=\begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}\end{aligned}

  2. De même :

    (n−1p−1)+(n−1p)=(n−1)!(p−1)!(n−1−(p−1))!+(n−1)!p!(n−p−1)!=(n−1)!(p−1)!(n−p)!+(n−1)!p!(n−p−1)!=(n−1)!pp(p−1)!(n−p)!+(n−1)!(n−p)p!(n−p−1)(n−p) \begin{aligned}\begin{pmatrix} n - 1 \\ p - 1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n - 1 \\ p \end{pmatrix} &=\dfrac{\left( n - 1\right) !}{\left( p - 1\right) !\left( n - 1 - \left( p - 1\right) \right) !}+\dfrac{\left( n - 1\right) !}{p!\left( n - p - 1\right) !}\\ \\ &=\dfrac{\left( n - 1\right) !}{\left( p - 1\right) !\left( n - p\right) !}+\dfrac{\left( n - 1\right) !}{p!\left( n - p - 1\right) !}\\ \\ &=\dfrac{\left( n - 1\right) !p}{p\left( p - 1\right) !\left( n - p\right) !} +\dfrac{\left( n - 1\right) !\left( n - p\right) }{p!\left( n - p - 1\right) \left( n - p\right) }\end{aligned}

    or (n−p)!=(n−p)(n−p−1)! (n - p)!=(n - p)(n - p - 1)! et p!=p(p−1)! p!=p(p - 1)! donc :

    (n−1p−1)+(n−1p)=(n−1)!p+(n−1)!(n−p)p!(n−p)!=(n−1)!(p+n−p)p!(n−p)!1=(n−1)!np!(n−p)!=np!(n−p)!=(np) \begin{aligned}\begin{pmatrix} n - 1 \\ p - 1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n - 1 \\ p \end{pmatrix} &=\dfrac{\left( n - 1\right) !p+\left( n - 1\right) !\left( n - p\right) }{p!\left( n - p\right) !}\\ \\ &=\dfrac{\left( n - 1\right) !\left( p+n - p\right) }{p!\left( n - p\right) !1}\\ \\ &=\dfrac{\left( n - 1\right) !n}{p!\left( n - p\right) !}\\ \\ &=\dfrac{n}{p!\left( n - p\right) !}\\ \\ &= \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} \end{aligned}

  3. Enfin :

    np×(n−1p−1)=np×(n−1)!(p−1)!(n−1−(p−1))!=n(n−1)!p(p−1)!(n−p)!=n!p!(n−p)!=(np) \begin{aligned}\dfrac{n}{p}\times \begin{pmatrix}n - 1 \\ p - 1\end{pmatrix} &=\dfrac{n}{p}\times \dfrac{\left( n - 1\right) !}{\left( p - 1\right) !\left( n - 1 - \left( p - 1\right) \right) !}\\ \\ &=\dfrac{n\left( n - 1\right) !}{p\left( p - 1\right)! \left( n - p\right) !}\\ \\ &=\dfrac{n!}{p!\left( n - p\right) !}\\ \\ &= \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}\end{aligned}

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