1. Permutations
Définition
Soit E un ensemble fini.
Une permutation de E est une liste ordonnée d’éléments de E.
Exemple
Soit E={a;b;c}
E admet 6 permutations qui sont : (a;b;c), (a;c;b), (b;a;c), (b;c;a), (c;a;b) et (c;b;a)
Remarque
- dans les notations avec parenthèses du type ( a ; b ; c ) l'ordre est pris en compte. (il s'agit d'une liste ordonnée)
- dans les notations avec accolades du type { a ; b ; c } l'ordre n'est pas pris en compte. (il s'agit d'un ensemble)
Théorème
Le nombre de permutations d’un ensemble fini E à n éléments est le nombre n! ( factorielle n ) défini par :
n! = n\times \left(n-1\right)\times . . .\times 1
Remarques
- par convention on pose 0! = 1
- pour tout entier n > 0 : n! = n\times \left(n-1\right)!
Exemple
Si l'on reprend l'exemple précédent on vérifie bien que :
3! = 3\times 2\times 1=6
2. Combinaisons
Définition
Soit E un ensemble fini à n éléments et p un entier tel que 0\leqslant p\leqslant n .
Une combinaison de p éléments de E est une partie de E contenant p éléments.
Remarque
Une partie est un ensemble donc l'ordre n'est pas pris en compte
Exemple
Soit E={a;b;c}
E admet 3 combinaisons à 2 éléments qui sont : {a;b}, {a;c}, {b;c}
Théorème
Le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments est le nombre noté \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} (on lit "p parmi n" ) égal à :
\begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}=\frac{n!}{p!\left(n-p\right)!}
Exemples
- Dans l'exemple ci-dessus on a bien : \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}=\frac{3!}{2!\times 1!}=\frac{6}{2}=3
- Au poker une "main" est formée de 5 cartes parmi 52. Il y a donc :
\begin{pmatrix} 52 \\ 5 \end{pmatrix}=\frac{52!}{47!\times 5!}=\frac{52\times 51\times 50\times 49\times 48}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=2 598 960 \text{ combinaisons}