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Factorielle de 100

Par combien de zéros se termine l'écriture décimale de 100! 100! (factorielle de 100) ?

Corrigé

Écrivons la décomposition de 100! en facteurs premiers de la manière suivante :

100!=2n2×3n3×5n5×7n7×⋯ 100! = 2^{n_2} \times 3^{n_3} \times 5^{n_5} \times 7^{n_7} \times \cdots

np n_p représentant l'exposant de p p dans la décomposition de 100! en facteurs premiers.

Le nombre de zéros terminaux dans l'écriture décimale de 100! correspond au nombre de facteurs 10 que l'on peut former à partir de cette décomposition.

Or, pour obtenir un facteur 10, il faut regrouper un facteur 2 et un facteur 5. Le nombre de zéros terminaux de 100! sera donc le plus petit des deux nombres n2 n_2 et n5 n_5 .

Dans le produit 100!=100×99×98×97×96×95×⋯×1 100! = 100 \times 99 \times 98 \times97 \times96 \times95 \times \cdots \times 1, un facteur sur deux est divisible par 2 tandis qu'un sur cinq est divisible par 5. Le nombre n2 n_2 sera donc supérieur au nombre n5 n_5 et nombre de zéros terminaux de 100! sera donc n5 n_5 .

Il reste alors à déterminer l'exposant de 5 dans la décomposition de 100! en facteurs premiers.

  • parmi les 100 premiers entiers naturels non nuls, 20 d'entre eux (5, 10, 15, ... , 100) sont divisibles par 5,

  • de plus, parmi ces entiers, quatre sont divisibles par 52^2 = 25 (25, 50, 75 et 100) ce qui fourni 4 facteurs 5 supplémentaires,

  • par contre, aucun d'entre eux n'est divisible par 53 ^3 = 125 puisque 125 > 100.

Au total la décomposition de 100! en facteurs premiers fait apparaître 24 fois le facteur 5 donc l'écriture décimale de 100! se termine par 24 zéros.

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