Factorielle de 100
Par combien de zéros se termine l'écriture décimale de (factorielle de 100) ?
Corrigé
Écrivons la décomposition de 100! en facteurs premiers de la manière suivante :
représentant l'exposant de dans la décomposition de 100! en facteurs premiers.
Le nombre de zéros terminaux dans l'écriture décimale de 100! correspond au nombre de facteurs 10 que l'on peut former à partir de cette décomposition.
Or, pour obtenir un facteur 10, il faut regrouper un facteur 2 et un facteur 5. Le nombre de zéros terminaux de 100! sera donc le plus petit des deux nombres et .
Dans le produit , un facteur sur deux est divisible par 2 tandis qu'un sur cinq est divisible par 5. Le nombre sera donc supérieur au nombre et nombre de zéros terminaux de 100! sera donc .
Il reste alors à déterminer l'exposant de 5 dans la décomposition de 100! en facteurs premiers.
parmi les 100 premiers entiers naturels non nuls, 20 d'entre eux (5, 10, 15, ... , 100) sont divisibles par 5,
de plus, parmi ces entiers, quatre sont divisibles par 5= 25 (25, 50, 75 et 100) ce qui fourni 4 facteurs 5 supplémentaires,
par contre, aucun d'entre eux n'est divisible par 5= 125 puisque 125 > 100.
Au total la décomposition de 100! en facteurs premiers fait apparaître 24 fois le facteur 5 donc l'écriture décimale de 100! se termine par 24 zéros.