Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Combinaisons avec répétition

Partie A - Étude d'un exemple

On souhaite ranger 4 boules identiques dans 3 casiers.

Voici un exemple de rangement possible :

combinaisons-avec-repetition
Rangement de 4 boules dans 3 casiers

On cherche à déterminer le nombre de rangements possibles. Pour cela on modélise chaque rangement à l'aide d'une suite de caractères \star et | de la manière suivante :

Par exemple, le rangement précédent (trois boules dans le premier casier, aucune dans le second et une dans le troisième) sera représenté par la suite de caractères :

\star \star \star | | \star

Il faut alors 6 caractères ( 4 \star et 2 | ) pour représenter un rangement.

À l'aide de cette modélisation, déterminer le nombre de façons de ranger 4 boules identiques dans 3 casiers.

Partie B - Étude du cas général

On dispose, cette fois de p p boules et de n n casiers.

On représentera chacun des rangement possible par une suite de caractères \star et | comme indiqué dans la partie A.

  1. Combien de caractères \star et | seront nécessaires pour modéliser un rangement ?

  2. De combien de manières peut-on ranger p p boules dans nn casiers ?

Partie C - Applications

  1. x,y x, y et z z étant trois entiers naturels, combien l'équation :

    x+y+z=6 x + y + z = 6

    admet-elle de solutions ?

  2. On dispose de bonbons de trois parfums différents : caramels, chocolats, pralinés.
    On souhaite réaliser des sachets de 10 bonbons.

    Combien de sortes de sachets peut-on réaliser ?

Corrigé

Partie A - Étude d'un exemple

La suite de caractères utilisée pour modéliser un rangement utilise 4 caractères \star (qui correspondent aux 4 boules) et 2 caractères séparateurs | (le nombre de séparateurs est égal au nombre de casiers moins un).

On utilise donc, au total, 6 caractères pour représenter un rangement de 4 boules dans 3 casiers.

Chaque suite de caractères ainsi formée représente un rangement et chaque rangement peut être modélisé par une telle représentation (on dit qu'il y a « bijection » entre les rangements et leurs représentations).

Le nombre de rangements possibles est donc égal au nombre de représentations comportant 4 \star parmi 6 caractères.

Ce nombre est donc :

N=(64)=15 N = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} = 15

Remarque : On peut également raisonner sur la position des caractères | ; on trouve le même résultat (62)=15. \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} = 15.

Partie B - Étude du cas général

Avec un raisonnement identique à celui de la partie A., on constate alors que chaque rangement peut être représenté par une suite de caractères comprenant p p étoiles et n1 n - 1 séparateurs (soit au total n+p1 n + p - 1 caractères).

Le nombre de ces suites est alors :

N=(n+p1p) N= \begin{pmatrix} n+p - 1 \\ p \end{pmatrix}

Partie C - Applications

  1. Si l'on écrit 6 sous la forme 1+1+1+1+1+1, on remarque que résoudre l'équation x+y+z=6 x+ y + z = 6 dans N3 \mathbb{N} ^3 revient à regrouper les termes 1 dans la somme 1+1+1+1+1+1 en trois groupes;
    par exemple :

    6 = (1+1+1) + (1+1) + (1)

    donnera 6 = 3 + 2 + 1 et la solution (3; 2; 1)

    et

    6 = (1+1+1+1) + (1+1) + ()

    donnera 6 = 4 + 2 + 0 et la solution (4; 2; 0).

    On est donc ramené au problèmes qui consiste à placer 6 objets (les nombres 1) dans 3 casiers (l'intérieur des parenthèses).

    D'après la partie B., ce nombre est :

    N=(6+316)=(86)=28 N = \begin{pmatrix} 6+3 - 1 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \end{pmatrix} = 28 .

    Remarque : sur le modèle de l'exercice Somme des chiffres et dénombrement, on peut écrire un programme en Python pour lister ces 28 solutions qui sont :
    (0; 0; 6); (0; 1; 5); (0; 2; 4); (0; 3; 3); (0; 4; 2); (0; 5; 1); (0; 6; 0); (1; 0; 5); (1; 1; 4); (1; 2; 3); (1; 3; 2); (1; 4; 1); (1; 5; 0); (2; 0; 4); (2; 1; 3); (2; 2; 2); (2; 3; 1); (2; 4; 0); (3; 0; 3); (3; 1; 2); (3; 2; 1); (3; 3; 0); (4; 0; 2); (4; 1; 1); (4; 2; 0); (5; 0; 1); (5; 1; 0); (6; 0; 0)

  2. Si l'on note xx le nombre de caramels, yy le nombre de chocolats et zz le nombre de pralinés, le nombre de sachets de 10 bonbons que l'on peut réaliser est égal au nombre de solutions dans N3 \mathbb{N} ^3 de l'équation :

    x+y+z=10 x + y + z = 10

    D'après la partie B., ce nombre est :

    N=(10+3110)=(1210)=66 N = \begin{pmatrix} 10+3 - 1 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 10 \end{pmatrix} = 66 .