La suite de caractères utilisée pour modéliser un rangement utilise 4 caractères $\star$ (qui correspondent aux 4 boules) et 2 caractères séparateurs | (le nombre de séparateurs est égal au nombre de casiers moins un).

On utilise donc, au total, 6 caractères pour représenter un rangement de 4 boules dans 3 casiers.

Chaque suite de caractères ainsi formée représente un rangement et chaque rangement peut être modélisé par une telle représentation (on dit qu'il y a « bijection » entre les rangements et leurs représentations).

Le nombre de rangements possibles est donc égal au nombre de représentations comportant 4 $\star$ parmi 6 caractères.

Ce nombre est donc :

Remarque : On peut également raisonner sur la position des caractères | ; on trouve le même résultat $\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} = 15.$

Avec un raisonnement identique à celui de la partie A., on constate alors que chaque rangement peut être représenté par une suite de caractères comprenant $p$ étoiles et $n - 1$ séparateurs (soit au total $n + p - 1$ caractères).

Le nombre de ces suites est alors :

1. Si l'on écrit 6 sous la forme 1+1+1+1+1+1, on remarque que résoudre l'équation $x+ y + z = 6$ dans $\mathbb{N} ^3$ revient à regrouper les termes 1 dans la somme 1+1+1+1+1+1 en trois groupes;
   par exemple :

   6 = (1+1+1) + (1+1) + (1)

   donnera 6 = 3 + 2 + 1 et la solution (3; 2; 1)

   et

   6 = (1+1+1+1) + (1+1) + ()

   donnera 6 = 4 + 2 + 0 et la solution (4; 2; 0).

   On est donc ramené au problèmes qui consiste à placer 6 objets (les nombres 1) dans 3 casiers (l'intérieur des parenthèses).

   D'après la partie B., ce nombre est :

   $N = \begin{pmatrix} 6+3 - 1 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \end{pmatrix} = 28$.

   Remarque : sur le modèle de l'exercice Somme des chiffres et dénombrement, on peut écrire un programme en Python pour lister ces 28 solutions qui sont :
   (0; 0; 6); (0; 1; 5); (0; 2; 4); (0; 3; 3); (0; 4; 2); (0; 5; 1); (0; 6; 0); (1; 0; 5); (1; 1; 4); (1; 2; 3); (1; 3; 2); (1; 4; 1); (1; 5; 0); (2; 0; 4); (2; 1; 3); (2; 2; 2); (2; 3; 1); (2; 4; 0); (3; 0; 3); (3; 1; 2); (3; 2; 1); (3; 3; 0); (4; 0; 2); (4; 1; 1); (4; 2; 0); (5; 0; 1); (5; 1; 0); (6; 0; 0)

2. Si l'on note $x$ le nombre de caramels, $y$ le nombre de chocolats et $z$ le nombre de pralinés, le nombre de sachets de 10 bonbons que l'on peut réaliser est égal au nombre de solutions dans $\mathbb{N} ^3$ de l'équation :

   $x + y + z = 10$

   D'après la partie B., ce nombre est :

   $N = \begin{pmatrix} 10+3 - 1 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 10 \end{pmatrix} = 66$.